Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx（a，b為常數(shù)，且a≠0）滿足條件：f（x-1）=f（3-x）且方程f（x）=2x有等根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在實(shí)數(shù)m，n（m＜n），使f（x）的定義域和值域分別為[m，n]和[4m，4n]，如果存在，求出m，n的值；如果不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由方程ax²+bx-2x=0有等根，則△=0，得b，又由f（x-1）=f（3-x）知此函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為x=-=1，得a，從而求得f（x）．
（2）由f（x）=-（x-1）²+1≤1，知4n≤1，即n≤．由對(duì)稱(chēng)軸為x=1，知當(dāng)n≤時(shí)，f（x）在[m，n]上為增函數(shù)．所以有，最后看是否滿足m＜n≤即可．
解答：解：（1）∵方程ax²+bx-2x=0有等根，∴△=（b-2）²=0，得b=2．
由f（x-1）=f（3-x）知此函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為x=-=1，得a=-1，故f（x）=-x²+2x．
（2）∵f（x）=-（x-1）²+1≤1，∴4n≤1，即n≤．
而拋物線y=-x²+2x的對(duì)稱(chēng)軸為x=1，∴當(dāng)n≤時(shí)，f（x）在[m，n]上為增函數(shù)．
若滿足題設(shè)條件的m，n存在，則
即⇒又m＜n≤．
∴m=-2，n=0，這時(shí)，定義域?yàn)閇-2，0]，值域?yàn)閇-8，0]．
由以上知滿足條件的m，n存在，m=-2，n=0．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，還考查了二次函數(shù)解析式的常用解法及分類(lèi)討論，轉(zhuǎn)化思想．