Question

11．設矩陣M=$（\begin{array}{l}{1}&{a}\\&{1}\end{array}）$．
（Ⅰ）若a=2，b=3，求矩陣M的逆矩陣M^-1；
（Ⅱ）若曲線C：x²+4xy+2y²=1在矩陣M的作用下變換成曲線C′：x²-2y²=1，求a+b的值．

Answer 1

分析 （I）通過M的行列式det（M）=-5，直接可得結論；
（II）設曲線C上任意一點P（x，y），變換后得到點P′（x′，y′），利用$[\begin{array}{l}{1}&{a}\\&{1}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{x′}\\{y′}\end{array}]$，并將點P′（x′，y′）代入曲線C′，比較系數(shù)即得結論．

解答 解：（I）當a=2，b=3時，M的行列式det（M）=-5，
∴所求的逆矩陣M^-1=$[\begin{array}{l}{-\frac{1}{5}}&{\frac{2}{5}}\\{\frac{3}{5}}&{-\frac{1}{5}}\end{array}]$；
（II）設曲線C上任意一點P（x，y），它在矩陣M所對應的線性變換作用下得到點P′（x′，y′），
則$[\begin{array}{l}{1}&{a}\\&{1}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{x′}\\{y′}\end{array}]$，即$\left\{\begin{array}{l}{x+ay=x′}\\{bx+y=y′}\end{array}\right.$，
又點P′（x′，y′）在曲線C′上，
∴所以x′²-2y′²=1，則（x+ay）²-2（bx+y）²=1，
即（1-2b²）x²+（2a-4b）xy+（a²-2）y²=1為曲線C的方程，
又已知曲線C的方程為x²+4xy+2y²=1，
比較系數(shù)可得$\left\{\begin{array}{l}{1-2^{2}=1}\\{2a-4b=4}\\{{a}^{2}-2=2}\end{array}\right.$，
解得：b=0，a=2，∴a+b=2．

點評 本題考查矩陣的變換等知識，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．