精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
己知橢圓的焦點在x軸上，它的一個焦點與拋物線x2=4y的焦點之間的距離為
5
，離心率e=
2
5
5
，過橢圓的左焦點廠做一條與坐標軸不垂直的直線L交橢圓于A，B兩點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設點M（m，0）是線段OF1上的一個動點，且（
MA
+
MB
）⊥
AB
，求m的取值范圍．
分析：（1）根據題意設橢圓的右焦點（c，0 ），則由題意可得
c2+1
=
5
，求出c值，由離心率可得 a，求出b值，即得橢圓的標準方程．
（2）設直線l的方程為 y=k（x+2），代入橢圓的方程化簡，把根與系數的關系代入（
MA
+
MB
）•
AB
=0，解得 m=-
8k2
1+5k2
=-
8
1
k2
+5 
，再利用不等式的性質求出m的取值范圍．
解答：解：（1）拋物線的焦點為（0，1），設橢圓的右焦點（c，0 ），則由題意可得
c2+1
=
5
，
∴c=2，∴再由離心率可得 a=
5
，b=1，故橢圓的標準方程為
x2
5
+y2=1．
（2）設直線l的方程為 y=k（x+2），代入橢圓的方程化簡可得  （1+5k2）x2+20k2x-5=0，
∴x1+x2=
-20k2
1+5k2
，x1•x2=
-5
1+5k2
，
∴（
MA
+
MB
）=（x1-m，y1）+（x2-m，y2 ）=（x1+x2-2m，y1+y2 ）．
由（
MA
+
MB
）⊥
AB
，可得 （
MA
+
MB
）•
AB
=（x1+x2-2m，y1+y2 ）•（x2-x1，y2-y1）
=（x1+x2-2m）（x2-x1）+（y2+y1）（y2-y1）=0，
化簡可得 x1+x2-2m+k2（x1+x2+4）=0，∴2m=4k2-
20k2(k2+ 1)
1+5k2
，
∴m=-
8k2
1+5k2
=-
8
1
k2
+5 
．∵k2＞0，∴0＜
8
1
k2
+5
＜
8
5
，
∴-
8
5
＜m＜0． 故m的取值范圍是[-
8
5
，0）．
點評：本題考查求橢圓的標準方程，兩個向量的數量積公式，不等式的性質，求出m=-
8k2
1+5k2
=-
8
1
k2
+5 
，是解題的關鍵，
屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網給出下列5個命題：
①0＜a≤
1
5
是函數f（x）=ax2+2（a-1）x+2在區(qū)間（-∞，4]上為單調減函數的充要條件；
②如圖所示，“嫦娥探月衛(wèi)星”沿地月轉移軌道飛向月球，在月球附近一點P進入以月球球心F為一個焦點的橢圓軌道I繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點第二次變軌進入仍以F為一個焦點的橢圓軌道II繞月飛行，最終衛(wèi)星在P點第三次變軌進入以F為圓心的圓形軌道III繞月飛行，若用2Cl和2c2分別表示摘圓軌道I和II的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道I和II的長軸的長，則有c1a2＞a1c2；
③函數y=f（x）與它的反函數y=f-1（x）的圖象若相交，則交點必在直線y=x上；
④己知函數f（x）=loga（1-ax）在（O，1）上滿足，f′（x）＞0，貝U
1
1-a
＞1+a＞
2a
；
⑤函數f（x）=
tan2x+
(1+i)2
i
+1
tan2x+2
（x≠kπ+
π
2
），k∈Z，/為虛數單位）的最小值為2；
其中所有真命題的代號是
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

己知命題p：方程
x2
m+4
+
y2
2m-1
=1表示焦點在y軸的橢圓；命題q：關于x的不等式x2-2x+m＞0的解集是R；若“p∧q”是假命題，“p∨q”是真命題，求實數m的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

己知橢圓的焦點在x軸上，它的一個焦點與拋物線x2=4y的焦點之間的距離為數學公式，離心率e=數學公式，過橢圓的左焦點廠做一條與坐標軸不垂直的直線L交橢圓于A，B兩點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設點M（m，0）是線段OF1上的一個動點，且（數學公式+數學公式）⊥數學公式，求m的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

己知橢圓的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，離心率為,P為橢圓上一動點，、分別為橢圓的左、右焦點，且面積的最大值為.  

  (1)求橢圓的方程；

  (2)設橢圓短軸的上端點為A，M為動點，且成等差數列，求動點M的軌跡的方程；

  (3)過點M作的切線交與Q、R兩點，求證：．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案