Question

己知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為,P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，且面積的最大值為.  

  (1)求橢圓的方程；

  (2)設(shè)橢圓短軸的上端點(diǎn)為A，M為動(dòng)點(diǎn)，且成等差數(shù)列，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡的方程；

  (3)過(guò)點(diǎn)M作的切線(xiàn)交與Q、R兩點(diǎn)，求證：．

Answer 1

（1）設(shè)橢圓C₁的方程為

由橢圓的幾何性質(zhì)知，當(dāng)P為橢圓的短軸端點(diǎn)時(shí)，△PF₁F₂的面積最大，故| F₁F₂|b=bc=,

解得a=2,b=1,故所求橢圓方程為

（2）由（1）知A（0，1），F(xiàn)₁（，0），F(xiàn)₂（，0），設(shè)M（x,y）則

整理得M的軌跡C₂的方程為

（3）l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為y=kx+m,帶入橢圓方程并整理得

設(shè)Q（x₁,y₁）,R(x₂,y₂),則x₁+x₂=

所以y₁y₂=(kx₁+m)(kx₂+m)=k²x₁x₂+km(x₁+x₂)+m²,

又因?yàn)閘與C₂相切，所以

所以當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，l: ,帶入橢圓方程得

此時(shí)=