Question

（本小題滿分14分）已知函數(shù)．

（1）求的單調(diào)區(qū)間與極大值；

（2）任取兩個(gè)不等的正數(shù)，且，若存在使成立，求證：；

（3）已知數(shù)列滿足，（n∈N+），求證：（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

 

Answer 1

（1）g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-1，0），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，+∞），g（x）的極大值是g（0）=0；（2）證明見(jiàn)解析；

（3）證明見(jiàn)解析．

【解析】

試題分析：（1）函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則若，則在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，若，則在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；（2）求函數(shù)的極值的一般步驟：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)；（3）解方程，求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；（4）列表檢驗(yàn)在的根左右兩側(cè)的符號(hào)，如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，那么是極大值；如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，那么是極小值；（3）利用導(dǎo)數(shù)方法證明不等式在區(qū)間上恒成立的基本方法是構(gòu)造函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，或者函數(shù)的最值證明函數(shù)，其中一個(gè)重要的技巧就是找到函數(shù)在什么地方可以等于零，這往往就是解決問(wèn)題的一個(gè)突破口，觀察式子的特點(diǎn)，找到特點(diǎn)證明不等式．

試題解析：【解析】
（1）由已知有=，

于是．

故當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，>0；當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，<0．

所以g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-1，0），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，+∞），

g（x）的極大值是g（0）=0． 4分

（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015022506041852786112/SYS201502250604293876126264_DA/SYS201502250604293876126264_DA.025.png">，所以=，于是

==

==，

令=t （t>1），，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015022506041852786112/SYS201502250604293876126264_DA/SYS201502250604293876126264_DA.035.png">，只需證明．

令，則，

∴ 在遞減，所以，

于是h（t）<0，即，故．

仿此可證，故． 10分

（3）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015022506041852786112/SYS201502250604293876126264_DA/SYS201502250604293876126264_DA.046.png">，，所以單調(diào)遞增，≥1．

于是，

所以．（*）

由（1）知當(dāng)x>0時(shí)，<x．

所以（*）式變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015022506041852786112/SYS201502250604293876126264_DA/SYS201502250604293876126264_DA.053.png">．

即（k∈N，k≥2），

令k=2，3， ， n，這n-1個(gè)式子相加得

=

=

，

即，所以． 14分

考點(diǎn)：1、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；2、證明不等式．