Question

已知函數(shù)f（x）=2sin

π

6

xcos

π

6

x，過兩點(diǎn)A（t，f（t）），B（t+1，f（t+1））的直線的斜率記為g（t）．
（Ⅰ）求g（0）的值；
（Ⅱ）寫出函數(shù)g（t）的解析式，求g（t）在[-

3

2

，

3

2

]上的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）化簡(jiǎn)函數(shù)f（x），利用g(0)=

f(1)-f(0)

1

，代入計(jì)算，即可求g（0）的值；
（Ⅱ）根據(jù)過兩點(diǎn)A（t，f（t）），B（t+1，f（t+1））的直線的斜率，可得函數(shù)g（t）的解析式，再利用輔助角公式，化簡(jiǎn)函數(shù)，即可求g（t）在[-

3

2

，

3

2

]上的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=2sin

π

6

xcos

π

6

x，∴f(x)=sin

π

3

x---------------------------（2分）
∴g(0)=

f(1)-f(0)

1

=sin

π

3

-sin0=

3

2

．-------------------------------（5分）
（Ⅱ）g(t)=

f(t+1)-f(t)

t+1-t

=sin(

π

3

t+

π

3

)-sin

π

3

t------------------------------（6分）
=sin

π

3

tcos

π

3

+cos

π

3

tsin

π

3

-sin

π

3

t------------------------------（7分）
=-

1

2

sin

π

3

t+

3

2

cos

π

3

t------------------------------（8分）
=-sin(

π

3

t-

π

3

)----------------------（10分）
∵t∈[-

3

2

，

3

2

]，∴

π

3

t-

π

3

∈[-

5π

6

，

π

6

]，--------------------（11分）
∴sin(

π

3

t-

π

3

)∈[-1，

1

2

]，---------------------（12分）
∴g（t）在[-

3

2

，

3

2

]上的取值范圍是[-

1

2

，1]------------------（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線的斜率計(jì)算，考查三角函數(shù)的值域問題，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確確定函數(shù)解析式是關(guān)鍵．