Question

設(shè)圓C與兩圓（x+）²+y²=4，（x﹣）²+y²=4中的一個內(nèi)切，另一個外切．
（1）求C的圓心軌跡L的方程；
（2）已知點(diǎn)M（，），F(xiàn)（，0），且P為L上動點(diǎn)，求||MP|﹣|FP||的最大值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

 解：（1）兩圓的半徑都為2，兩圓心為F₁（﹣，0）、F₂（，0），
由題意得：|CF₁|+2=|CF₂|﹣2或|CF₂|+2=|CF₁|﹣2，
∴||CF₂|﹣|CF₁||=4=2a＜|F₁F₂|=2=2c，
可知圓心C的軌跡是以原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在x軸上，且實(shí)軸為4，焦距為2的雙曲線，
因此a=2，c=，則b²=c²﹣a²=1，
所以軌跡L的方程為﹣y²=1；
（2）過點(diǎn)M，F(xiàn)的直線l的方程為y=（x﹣），
即y=﹣2（x﹣），代入﹣y²=1，
解得：x₁=，x₂=，
故直線l與雙曲線L的交點(diǎn)為T₁（，﹣），T₂（，），
因此T₁在線段MF外，T₂在線段MF內(nèi)，
故||MT₁|﹣|FT₁||=|MF|==2，
||MT₂|﹣|FT₂||＜|MF|=2，
若點(diǎn)P不在MF上，則|MP|﹣|FP|＜|MF|=2，
綜上所述，|MP|﹣|FP|只在點(diǎn)T1處取得最大值2，
此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，﹣）．