Question

設(shè)圓C與兩圓（x+）²+y²=4，（x-）²+y²=4中的一個內(nèi)切，另一個外切．
（1）求C的圓心軌跡L的方程；
（2）已知點(diǎn)M（，），F(xiàn)（，0），且P為L上動點(diǎn)，求||MP|-|FP||的最大值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)兩圓的方程分別找出兩圓心和兩半徑，根據(jù)兩圓內(nèi)切時，兩圓心之間的距離等于兩半徑相減，外切時，兩圓心之間的距離等于兩半徑相加，可知圓心C到圓心F₁的距離加2與圓心C到圓心F₂的距離減2或圓心C到圓心F₁的距離減2與圓心C到圓心F₂的距離加2，得到圓心C到兩圓心的距離之差為常數(shù)4，且小于兩圓心的距離2，可知圓心C的軌跡為以原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，根據(jù)a與c的值求出b的值，寫出軌跡L的方程即可；
（2）根據(jù)點(diǎn)M和F的坐標(biāo)寫出直線l的方程，與雙曲線L的解析式聯(lián)立，消去y后得到關(guān)于x的方程，求出方程的解即可得到兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，把橫坐標(biāo)代入直線l的方程中即可求出交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，得到直線l與雙曲線L的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后經(jīng)過判斷發(fā)現(xiàn)T₁在線段MF外，T₂在線段MF內(nèi)，根據(jù)圖形可知||MT₁|-|FT₁||=|MF|，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出|MF|的長度，當(dāng)動點(diǎn)P與點(diǎn)T₂重合時||MT₂|-|FT₂||＜|MF|，當(dāng)動點(diǎn)P不是直線l與雙曲線的交點(diǎn)時，根據(jù)兩邊之差小于第三邊得到|MP|-|FP|＜|MF|，綜上，得到動點(diǎn)P與T₁重合時，||MP|-|FP||取得最大值，此時P的坐標(biāo)即為T₁的坐標(biāo)．
解答：解：（1）兩圓的半徑都為2，兩圓心為F₁（-，0）、F₂（，0），
由題意得：|CF₁|+2=|CF₂|-2或|CF₂|+2=|CF₁|-2，
∴||CF₂|-|CF₁||=4=2a＜|F₁F₂|=2=2c，
可知圓心C的軌跡是以原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在x軸上，且實(shí)軸為4，焦距為2的雙曲線，
因此a=2，c=，則b²=c²-a²=1，
所以軌跡L的方程為-y²=1；

（2）過點(diǎn)M，F(xiàn)的直線l的方程為y=（x-），
即y=-2（x-），代入-y²=1，解得：x₁=，x₂=，
故直線l與雙曲線L的交點(diǎn)為T₁（，-），T₂（，），
因此T₁在線段MF外，T₂在線段MF內(nèi)，故||MT₁|-|FT₁||=|MF|==2，
||MT₂|-|FT₂||＜|MF|=2，若點(diǎn)P不在MF上，則|MP|-|FP|＜|MF|=2，
綜上所述，|MP|-|FP|只在點(diǎn)T₁處取得最大值2，此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，-）．
點(diǎn)評：此題考查學(xué)生會根據(jù)已知條件得到動點(diǎn)的軌跡方程，掌握雙曲線的簡單性質(zhì)，靈活運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式及三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊解決實(shí)際問題，是一道中檔題．