Question

如圖，在四面體ABCD中，已知∠ABD=∠CBD=60°，AB=BC=2，
（1）求證：AC⊥BD；
（2）若平面ABD⊥平面CBD，且BD=

5

2

，求二面角C-AD-B的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,棱錐的結(jié)構(gòu)特征,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知得△ABD≌△CBD，從而AD=CD，取AC的中點E，連結(jié)BE，DE，則BE⊥AC，DE⊥AC，從而AC⊥平面BED，由此能證明AC⊥BD．
（2）過C作CH⊥BD于點H，由已知得CH⊥平面ABD，過H做HK⊥AD于點K，連接CK，則∠CKH為二面角C-AD-B的平面角，由此能求出二面角C-AD-B的余弦值．

解答： （1）證明：∵∠ABD=∠CBD，AB=BC，BD=BD．
∴△ABD≌△CBD，
∴AD=CD．
取AC的中點E，連結(jié)BE，DE，則BE⊥AC，DE⊥AC．
又∵BE∩DE=E，
BE?平面BED，BD?平面BED，
∴AC⊥平面BED，
∴AC⊥BD．

（2）解：過C作CH⊥BD于點H．則CH?平面BCD，
又∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，
∴CH⊥平面ABD． 
過H做HK⊥AD于點K，連接CK． 
∵CH⊥平面ABD，∴CH⊥AD，又HK∩CH=H，
∴AD⊥平面CHK，∴CK⊥AD．
∴∠CKH為二面角C-AD-B的平面角． 
連接AH．∵△ABD≌△CBD，∴AH⊥BD．
∵∠ABD=∠CBD=60°，AB=BC=2，
∴AH=CH=

3

，BH=1．∵BD=

5

2

，∴DH=

3

2

． 
∴AD=

21

2

，∴HK=

AH•DH

AD

=

3 7

7

．
∴tan∠CKH=

CH

HK

=

21

3

，
∴cos∠CKH=

30

10

，∴二面角C-AD-B的余弦值為

30

10

．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．