Question

已知f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，而且f（1）=1，若m、n∈[-1，1]，m+n≠0時有 

f(m)+f(n)

m+n

＜0．
（1）證明f（x）在[-1，1]上為減函數(shù)；
（2）解不等式：f(x+

1

2

)＞f(

3

2

-x2)；
（3）若f（x）≤t²-2at+1對所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）任取-1≤x₁＜x₂≤1，則f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=

f(x1)+f(-x2)

x1-x2

•(x1-x2)＞0，由此能夠證明f（x）在[-1，1]上為減函數(shù)；
（2）由f（x）是奇函數(shù)和（1）的結(jié)論知f（x）在上[-1，1]是減函數(shù)，所以

x+ 1 2 ≥-1 3 2 -x2＞x+ 1 2 3 2 -x2 ≤1

，由此能求出不等式的解集．
（3）由f（x）在[-1，1]上是減函數(shù)，知要使f（x）≤t²-2at+1，對所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，所以

t2+2t≥0 t2-2t≥ 0

，由此能求出實數(shù)t的取值范圍．

解答：證明：（1）任取-1≤x₁＜x₂≤1，則
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=

f(x1)+f(-x2)

x1-x2

•(x1-x2)
∵-1≤x₁＜x₂≤1，∴x₁+（-x₂）≠0，
由已知

f(x1)+f(-x2)

x1-x2

＜0，又x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x）在[-1，1]上為減函數(shù)；
解：（2）∵f（x）在[-1，1]上為減函數(shù)，
故有

x+ 1 2 ≥-1 3 2 -x2＞x+ 1 2 3 2 -x2 ≤1

，
解得

2

2

≤x＜

5 -1

2

，或-

3

2

＜x≤-

2

2

，
∴解集為： [

2

2

，

5 -1

2

)∪[-

3

2

，-

2

2

)
（3）由（1）可知：f（x）在[-1，1]上是減函數(shù)，
且f（1）=1，故對x∈[-l，1]，恒有f（x）≥1．
所以要使f（x）≤t²-2at+1，對所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，
即要t²-2at+1≥1成立，故t²-2at≥0成立．
∴

t2+2t≥0 t2-2t≥ 0

，
解得：t≤-2或t≥2或t=0．

點評：本題考函數(shù)的恒成立的應用，對數(shù)學思維的要求比較高，要求學生理解“存在”、“恒成立”，以及運用一般與特殊的關系進行否定，本題有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．