【題目】如圖,在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,點(diǎn)E在棱AB上. (Ⅰ)求異面直線(xiàn)D1E與A1D所成的角;
(Ⅱ)若二面角D1﹣EC﹣D的大小為45°,求點(diǎn)B到平面D1EC的距離.
【答案】解:解法一:(Ⅰ)連結(jié)AD1 . 由AA1D1D是正方形知AD1⊥A1D. ∵AB⊥平面AA1D1D,
∴AD1是D1E在平面AA1D1D內(nèi)的射影.
根據(jù)三垂線(xiàn)定理得AD1⊥D1E,
則異面直線(xiàn)D1E與A1D所成的角為90°.
(Ⅱ)作DF⊥CE,垂足為F,連結(jié)D1F,則CE⊥D1F.
所以∠DFD1為二面角D1﹣EC﹣D的平面角,∠DFD1=45°.于是 ,
易得 Rt△BCE≌Rt△CDF,所以CE=CD=2,又BC=1,所以 .
設(shè)點(diǎn)B到平面D1EC的距離為h,則由于 ,即f'(x),
因此有CED1Fh=BEBCDD1 , 即 ,∴ .
解法二:如圖,分別以DA,DC,DD1為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.
(Ⅰ)由A1(1,0,1),得 ,
設(shè)E(1,a,0),又D1(0,0,1),則 .
∵ ∴ ,則異面直線(xiàn)D1E與A1D所成的角為90°.
(Ⅱ) =(0,0,1)為面DEC的法向量,設(shè) =(x,y,z)為面CED1的法向量,
則 ,
∴z2=x2+y2 . ①
由C(0,2,0),得 ,則 ,即 ,∴2y﹣z=0②
由①、②,可取 ,又 ,
所以點(diǎn)B到平面D1EC的距離
【解析】解法一:(Ⅰ)連結(jié)AD1 . 判斷AD1是D1E在平面AA1D1D內(nèi)的射影.得到異面直線(xiàn)D1E與A1D所成的角.(Ⅱ)作DF⊥CE,垂足為F,連結(jié)D1F,說(shuō)明∠DFD1為二面角D1﹣EC﹣D的平面角,∠DFD1=45°.利用等體積法,求點(diǎn)B到平面D1EC的距離.解法二:分別以DA,DC,DD1為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.(Ⅰ)通過(guò)向量的數(shù)量積為0,即可求異面直線(xiàn)D1E與A1D所成的角;(Ⅱ) =(0,0,1)為面DEC的法向量,設(shè) =(x,y,z)為面CED1的法向量,通過(guò)二面角D1﹣EC﹣D的大小為45°,求出x、y、z的關(guān)系,結(jié)合 ,求出平面的法向量,利用 求點(diǎn)B到平面D1EC的距離.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解異面直線(xiàn)及其所成的角的相關(guān)知識(shí),掌握異面直線(xiàn)所成角的求法:1、平移法:在異面直線(xiàn)中的一條直線(xiàn)中選擇一特殊點(diǎn),作另一條的平行線(xiàn);2、補(bǔ)形法:把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體,如正方體、平行六面體、長(zhǎng)方體等,其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線(xiàn)間的關(guān)系.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,點(diǎn)M、N分別在邊AB、BC上,沿直線(xiàn)MD、DN、NM,分別將△AMD、△CDN、△BNM折起,點(diǎn)A,B,C重合于一點(diǎn)P.
(1)證明:平面PMD⊥平面PND;
(2)若cos∠DNP= ,PD=5,求直線(xiàn)PD與平面DMN所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)點(diǎn)O是平行四邊形ABCD兩條對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn),給出下列向量組:
① 與 ;
② 與 ;
③ 與 ;
④ 與 .
其中可作為該平面其他向量基底的是( )
A.①②
B.①③
C.①④
D.③④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校從高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生,將他們的模塊測(cè)試成績(jī)分成6組:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]加以統(tǒng)計(jì),得到如圖所示的頻率分布直方圖.已知高一年級(jí)共有學(xué)生600名,據(jù)此估計(jì),該模塊測(cè)試成績(jī)不少于60分的學(xué)生人數(shù)為( )
A.588
B.480
C.450
D.120
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知直線(xiàn)y=﹣x+1與橢圓 + =1(a>b>0)相交于A、B兩點(diǎn),且線(xiàn)段AB的中點(diǎn)在直線(xiàn)l:x﹣2y=0上,求此橢圓的離心率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知△ABC的角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且 . (Ⅰ)求角A的大;
(Ⅱ)若a=1, ,求b+c的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某產(chǎn)品在某銷(xiāo)售點(diǎn)的零售價(jià)x(單位:元)與每天的銷(xiāo)售量y(單位:個(gè))的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示:
x | 16 | 17 | 18 | 19 |
y | 50 | 34 | 41 | 31 |
由表可得回歸直線(xiàn)方程 中的 ,根據(jù)模型預(yù)測(cè)零售價(jià)為20元時(shí),每天的銷(xiāo)售量約為( )
A.30
B.29
C.27.5
D.26.5
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知命題p:方程 ﹣ =1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓;命題q:雙曲線(xiàn) ﹣ =1的離心率e∈(1,2).若命題p、q有且只有一個(gè)為真,求m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,PA=AD,F(xiàn)為PD的中點(diǎn).
(1)求證:AF⊥平面PDC;
(2)求直線(xiàn)AC與平面PCD所成角的大。
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