Question

如圖，扇形AOB的弧的中點(diǎn)為M，動(dòng)點(diǎn)C、D分別在OA、OB上，且OC=BD，OA=1，∠AOB=120．
（1）若點(diǎn)D是線段OB靠近點(diǎn)O的四分之一分點(diǎn)，用

OA

、

OB

表示向量

MC

；
（2）求

MC

•

MD

的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）連結(jié)MB，MA，由題設(shè)條件得到四邊形OAMB是平行四邊形，由此能求出

MC

．
（Ⅱ）設(shè)

| OC |

| OA |

=k，則

MC

=（k-1）

OA

-

OB

，

MD

=-

OA

-k

OB

，由此結(jié)合題設(shè)條件，利用向量的數(shù)量積能求出

MC

•

MD

的取值范圍．

解答： 解：（I）連結(jié)MB，MA，
∵扇形AOB的弧的中點(diǎn)為M，動(dòng)點(diǎn)C、D分別在OA、OB上，
且OC=BD，OA=1，∠AOB=120，
∴四邊形OAMB是平行四邊形，
∵點(diǎn)D是線段OB靠近點(diǎn)O的四分之一分點(diǎn)，
∴

MC

=

MA

+

AC

=

BO

+

1

4

AO

=-

1

4

OA

-

OB

．（4分）
（II）設(shè)

| OC |

| OA |

=k，則

MC

=（k-1）

OA

-

OB

，

MD

=-

OA

-k

OB

MC

•

MD

=

1

2

[(k-

1

2

)2+

3

4

]，
∵OC=BD，
∴k∈[0，

1

2

]，
∴

MC

•

MD

的取值范圍是[

3

8

，

1

2

]．（6分）

點(diǎn)評：本題考查向量的表示，考查向量數(shù)量積的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意數(shù)形結(jié)合思想的合理運(yùn)用．