Question

【題目】已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）函數(shù)的圖象與軸交于兩點， ，點在函數(shù)的圖象上，且為等腰直角三角形，記，求的值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】試題分析：（1）對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，對進(jìn)行分類討論可得結(jié)果；（2）由函數(shù)圖象交軸于兩點，兩點橫坐標(biāo)滿足方程．又根據(jù)直角三角斜邊的中線性質(zhì)可得三者間關(guān)系，最后利用將方程轉(zhuǎn)化成只含有兩個變量，可求得兩變量關(guān)系，進(jìn)一步求得的值．試題解析：

（Ⅰ）．

①當(dāng)時，則，則函數(shù)在是單調(diào)增函數(shù)．

②當(dāng)時，令，則，

若， ，所以在上是單調(diào)減函數(shù)；

若， ，所以在上是單調(diào)增函數(shù)．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知當(dāng)時，函數(shù)其圖象與軸交于兩點，則有，則 ．

于是，在等腰三角形ABC中，顯然C = 90°，所以，即，

由直角三角形斜邊的中線性質(zhì)，可知，

所以，即，

所以，

即．

因為，則，

又，所以，

即，則所以．