Question

如圖所示，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，求證：
（1）BD₁⊥平面ACB₁
（2）平面A₁BD∥平面B₁CD₁
（3）平面AA₁C⊥平面B₁D₁DB．

Answer 1

分析：（1）利用正方體的性質(zhì)、線面垂直的判定和性質(zhì)定理即可證明；
（2）利用線面、面面平行的判定和性質(zhì)定理即可證明；
（3）利用（1）的結(jié)論和面面垂直的判定定理即可證明．

解答：證明：（1）由正方體可得：AC⊥BD，B₁B⊥BD，BD∩B₁B=B，
∴AC⊥平面BDD₁B₁，
∴AC⊥BD₁．
同理可證：AB₁⊥BD₁．
又AC∩AB₁=A，∴BD₁⊥平面AB₁C．
（2）∵BD∥B₁D₁，BD?平面B₁CD₁，B₁D₁?平面B₁CD₁，
∴BD∥平面B₁CD₁，
同理可證：A₁B∥平面B₁CD₁，
而B(niǎo)D∩A₁B=B，∴平面A₁BD∥平面B₁CD₁；
（3）由（1）可知：AC⊥平面BDD₁B₁，
而AC?平面ACC₁A₁，
∴平面AA₁CC₁⊥平面B₁D₁DB．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握正方體的性質(zhì)、線面及面面垂直的判定和性質(zhì)定理、線面及面面平行的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．