Question

如圖所示，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，G為DD₁上一點(diǎn)，且D₁G：GD=1：2，AC∩BD=O，求證：平面AGO∥平面D₁EF．

Answer 1

分析：證明兩個(gè)平面平行，只需在一個(gè)平面內(nèi)，找出兩條相交直線(xiàn)與另一個(gè)平面平行即可．AO?平面D1EF，EH?平面D₁EF，推出AO∥平面D₁EF，
AO∩GO=O即可證明結(jié)論．

解答：證明：如圖所示，設(shè)EF∩BD=H，E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，G為DD₁上一點(diǎn)，且D₁G：GD=1：2，AC∩BD=O，在△DD₁H中，

DO

DH

=

2

3

=

DG

DD1

，
∴GO∥D₁H，又GO?平面D₁EF，D₁H?平面D₁EF，
∴GO∥平面D₁EF，
在△BAO中，BE=EF，BH=HO，∴EH∥AO
AO?平面D1EF，EH?平面D₁EF，∴AO∥平面D₁EF，
AO∩GO=O，∴平面AGO∥平面D₁EF．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查平面與平面平行的判斷，正確利用判斷定理是證明立體幾何題目的前提，考查邏輯推理能力．