已知函數(shù)f（x）=loga
x-2x+2
（a＞0，且a≠1）．
（1）求f（x）的定義域；  
（2）討論f（x）的奇偶性；
（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得f（x）的定義域?yàn)閇m，n]時(shí)，值域?yàn)閇1+logan，1+logam]？若存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，則說明理由．
分析：（1）要使函數(shù)有意義，必須要求真數(shù)
x-2
x+2
＞0即可；
（2）先看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，然后在定義域內(nèi)判斷等式f（-x）=-f（x）是否成立；
（3）先假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)a，則使得f（x）的定義域?yàn)閇m，n]時(shí)，值域?yàn)閇1+logan，1+logam]?函數(shù)f（x）=loga
x-2
x+2
在區(qū)間[m，n]（m＞2）上單調(diào)遞減，且0＜a＜1．
?關(guān)于x的方程ax2+（2a-1）x+2=0在（2，+∞）上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解．?
△=(2a-1)2-8a＞0
g(2)=8a＞0
-
2a-1
2a
＞2
，解出即可．
解答：解：（1）∵
x-2
x+2
＞0，∴（x+2）（x-2）＞0，解得x＞2，或x＜-2．
∴函數(shù)f（x）的定義域是{x|x＜-2，或x＞2}．
（2）∵f（-x）=loga
-x-2
-x+2
=loga
x+2
x-2
=-loga
x-2
x+2
=-f（x）．
及由（1）可知：函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
（3）假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)a，則由m＜n，logam及loga
m-2
m+2
由意義，
可知2＜m＜n．
由∵1+logan＜1+logam，∴l(xiāng)ogan＜logam，
∴0＜a＜1．
令t=
x-2
x+2
，則t=1-
4
x+2
在區(qū)間[m，n]（m＞2）上單調(diào)遞增，
∴函數(shù)f（x）=loga
x-2
x+2
在區(qū)間[m，n]上單調(diào)遞減．
∴
f(m)=loga
m-2
m+2
=1+logam
f(n)=loga
n-2
n+2
=1+logan
，
∴m，n是方程loga
x-2
x+2
=1+logax的兩個(gè)大于2的根．方程可化為
x-2
x+2
=ax，即ax2+（2a-1）x+2=0．
上述問題?關(guān)于x的方程ax2+（2a-1）x+2=0在（2，+∞）上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解．
令g（x）=ax2+（2a-1）x+2，
則有
△=(2a-1)2-8a＞0
g(2)=8a＞0
-
2a-1
2a
＞2
，解得
a＞
3+2
2
2
或a＜
3-2
2
2
a＞0
0＜a＜
1
6
．

解得0＜a＜
3-2
2
2
．
又0＜a＜1，
∴0＜a＜
3-2
2
2
．
故存在這樣的實(shí)數(shù)a，且a的取值范圍為(0，
3-2
2
2
)．
點(diǎn)評(píng)：正確理解對(duì)數(shù)函數(shù)類型的自變量必須使真數(shù)大于0，掌握判斷函數(shù)的奇偶性的方法，及利用函數(shù)的單調(diào)性把要解決的問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)有兩個(gè)大于某個(gè)正數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)的問題是解決問題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，若直線l：y=kx-2與曲線y=f（x）在（-∞，0）上有公共點(diǎn)，求k的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）證明：對(duì)任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）對(duì)于函數(shù)f（x）圖象上的不同兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數(shù)f（x）圖象上存在點(diǎn)M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得點(diǎn)M處的切線l∥AB，則稱直線AB存在“伴侶切線”．特別地，當(dāng)x0=
x1+x2
2
時(shí)，又稱直線AB存在“中值伴侶切線”．試問：當(dāng)x≥e時(shí)，對(duì)于函數(shù)f（x）圖象上不同兩點(diǎn)A、B，直線AB是否存在“中值伴侶切線”？證明你的結(jié)論．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y-1=0垂直，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項(xiàng)和為Sn，則S2012的值為（　�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)；
（Ⅱ）若直線l過點(diǎn)（0，-1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）試就實(shí)數(shù)a的不同取值，寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）已知當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)在（0，
6
）上單調(diào)遞減，在（
6
，+∞）上單調(diào)遞增，求a的值并寫出函數(shù)的解析式；
（3）記（2）中的函數(shù)圖象為曲線C，試問是否存在經(jīng)過原點(diǎn)的直線l，使得l為曲線C的對(duì)稱軸？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案