Question

【題目】如圖，一個(gè)湖的邊界是圓心為的圓，湖的一側(cè)有一條直線型公路，湖上有橋（是圓的直徑）.規(guī)劃在公路上選兩個(gè)點(diǎn)，并修建兩段直線型道路.規(guī)劃要求：線段上的所有點(diǎn)到點(diǎn)的距離均不小于圓的半徑.已知點(diǎn)到直線的距離分別為和（為垂足），測(cè)得，，（單位：百米）.

（1）若道路與橋垂直，求道路的長；

（2）在規(guī)劃要求下，和中能否有一個(gè)點(diǎn)選在處？并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）15（百米）；（2）不能，理由見解析

【解析】

（1）作，可求得，從而得到，由可求得結(jié)果；

（2）①若在處，線段上的點(diǎn)（除）到點(diǎn)的距離均小于圓的半徑，不符合規(guī)劃要求；②若在處，可得到；利用余弦定理可驗(yàn)證出為銳角，可知上存在點(diǎn)到點(diǎn)的距離小于圓的半徑，不符合規(guī)劃要求；由此可得結(jié)論.

（1）過點(diǎn)作，垂足為

由已知條件得：四邊形為矩形 ，

道路的長為（百米）

（2）不能，理由如下：

①若在處，由（1）可得在圓上

則線段上的點(diǎn)（除）到點(diǎn)的距離均小于圓的半徑

選在處不滿足規(guī)劃要求

②若在處，連接

由（1）知：

為銳角 線段上存在點(diǎn)到點(diǎn)的距離小于圓的半徑

選在處也不滿足規(guī)劃要求

綜上所述：和均不能選在處