Question

（13分）已知在四棱錐P一ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分別是AB、PD的中點(diǎn)。

（Ⅰ）求證：AF∥平面PEC；

（Ⅱ）求PC與平面ABCD所成角的正切值；

（Ⅲ）求二面角P一EC一D的正切值。

Answer 1

解：（Ⅰ）取PC的中點(diǎn)O，連結(jié)OF、

 OE．∴FO∥DC，且FO=DC  ∴FO∥AE

又E是AB的中點(diǎn)．且AB=DC．∴FO=AE．

∴四邊形AEOF是平行四邊形．∴AF∥OE  又OE平面PEC，AF平面PEC  ∴AF∥平面PEC

（Ⅱ）連結(jié)AC

∵PA⊥平面ABCD，∴∠PCA是直線(xiàn)PC與平

面ABCD所成的角

在Rt△PAC中，即直線(xiàn)PC與平面ABCD所成的角正切為

（Ⅲ）作AM⊥CE，交CE的延長(zhǎng)線(xiàn)于M．連結(jié)PM，由三垂線(xiàn)定理．得PM⊥CE∴∠PMA是二面角P—EC—D的平面角 

由△AME∽△CBE，可得，∴

∴二面角P一EC一D的正切為

解法二：以A為原點(diǎn)，如圖建立直角坐標(biāo)系，

則A（0．0，0），B（2，0，0），C（2，l，0），

D（0，1，0），F(xiàn)（0，，），E（1，0，0），

P（0，0，1）

（Ⅰ）取PC的中點(diǎn)O，連結(jié)OE，則O（1，，），

∴  

又OE平面PEC，AF平面PEC，∴AF∥平面PEC

（Ⅱ）由題意可得，平面ABCD的法向量

即直線(xiàn)PC與平面ABCD所成的角正切大小為。

（Ⅲ）設(shè)平面PEC的法向量為

則，可得，令，則

由（2）可得平面ABCD的法向量是

∴二面角P一EC一D的正切大小為。