Question

如圖，在四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB＝60°，AB＝2 CD＝2，M是線段AB的中點．

（1）求證：C1M∥平面A1ADD1 ；

（2）若CD1垂直于平面ABCD且CD1＝，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角（銳角）的余弦值．

 

Answer 1

（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）利用C1M平行于平面A1ADD1 內(nèi)的一條直線可證線面平行；（2）要求二面角，可以利用幾何法，作出二面角的平面角，利用解三角形求出角的大小，也可以建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面的法向量求夾角.

試題解析：（1）證明：因為四邊形ABCD是等腰梯形，

且AB＝2CD，所以AB∥DC，

又M是AB的中點，

所以CD∥MA且CD＝MA.

連接AD1.因為在四棱柱ABCD ? A1B1C1D1中，

CD∥C1D1，CD＝C1D1，

所以C1D1∥MA，C1D1＝MA，

所以四邊形AMC1D1為平行四邊形，

因此，C1M∥D1A.

又C1M?平面A1ADD1，D1A?平面A1ADD1，

所以C1M∥平面A1ADD1.

（2）方法一：連接AC，MC.

由（1）知，CD∥AM且CD＝AM，

所以四邊形AMCD為平行四邊形，

所以BC＝AD＝MC.

由題意∠ABC＝∠DAB＝60°，

所以△MBC為正三角形，

因此AB＝2BC＝2，CA＝，

因此CA⊥CB.

設(shè)C為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C ? xyz.

所以A（，0，0），B（0，1，0），D1（0，0，）．

因此M，

所以，.

設(shè)平面C1D1M的一個法向量n＝（x，y，z），

由，得

可得平面C1D1M的一個法向量n＝（1，，1）．

又＝（0，0，）為平面ABCD的一個法向量．

因此cos〈，n〉＝，

所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角（銳角）的余弦值為.

方法二：由（1）知，平面D1C1M∩平面ABCD＝AB，點過C向AB引垂線交AB于點N，連接D1N.

由CD1⊥平面ABCD，可得D1N⊥AB，

因此∠D1NC為二面角C1 ? AB ? C的平面角．

在Rt△BNC中，BC＝1，∠NBC＝60°，

可得CN＝，

所以ND1＝.

在Rt△D1CN中，cos∠D1NC＝，

所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角（銳角）的余弦值為.

 

考點：空間線面關(guān)系，二面角，空間直角坐標(biāo)系