Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，AD=5，AA₁=3，則四棱錐B₁-A₁BCD₁的體積是（ ）
A．10
B．20
C．30
D．60

Answer 1

【答案】分析：以DA為x軸，以DC為y軸，以DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，AD=5，AA₁=3，知，，故平面A₁BCD₁的法向量為，所以點B₁到平面A₁BCD₁的距離d==，S_{四邊形A1BCD1}=5×5=25，由此能求出四棱錐B₁-A₁BCD₁的體積．
解答：解：以DA為x軸，以DC為y軸，以DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，AD=5，AA₁=3，
∴A₁（5，0，3），B（5，4，0），D₁（0，0，3），B₁（5，4，3），
∴，，
設(shè)平面A₁BCD₁的法向量為，
則，∴，
∵=（0，4，0），
∴點B₁到平面A₁BCD₁的距離d==，
長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，AD=5，AA₁=3，
∴==5，
∴S_四邊形A1BCD₁=A₁D₁×A₁B=5×5=25，
∴四棱錐B₁-A₁BCD₁的體積V_四棱錐B1-A₁BCD₁===20．
故選B．
點評：本題考查棱錐的體積的求法，是基礎(chǔ)題．解題時要認(rèn)真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．