Question

【題目】已知函數(shù)

(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；

(2)當(dāng)時(shí)，判斷 在上的單調(diào)性，并說(shuō)明理由；

(3)當(dāng)時(shí)，求證： ，都有

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）由得切線斜率，由點(diǎn)斜式寫切線方程即可；

（2）由，易知在上，從而得知函數(shù)為增函數(shù)；

（3）由（2）可知，當(dāng)時(shí)， 在區(qū)間單調(diào)遞增，易知不等式成立；當(dāng)時(shí)，設(shè)， ，分析單調(diào)性可知存在唯一的實(shí)數(shù)，使得，又 ， ，所以當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意的， .

試題解析：

（1）當(dāng)時(shí)， , .

得 又,

所以曲線在處的切線方程為

（2）方法1：因?yàn)?/span>，所以.

因?yàn)?/span>，所以，所以.

所以 當(dāng)時(shí)， ，所以在區(qū)間單調(diào)遞增.

方法2：因?yàn)?/span>，所以.

令， 則 ，

隨x的變化情況如下表：

x
		+
			極大值

當(dāng)時(shí)， .

所以時(shí)， ，即，

所以在區(qū)間單調(diào)遞增.

（3）方法1：由（2）可知，當(dāng)時(shí)， 在區(qū)間單調(diào)遞增，

所以時(shí)， .

當(dāng)時(shí)，設(shè)，

則 ，

隨x的變化情況如下表：

x
		+
			極大值

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

因?yàn)?/span>， ，

所以存在唯一的實(shí)數(shù)，使得，

且當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， ，

所以在上單調(diào)遞增， 在上單調(diào)遞減.

又 ， ,

所以當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意的， .

綜上所述，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，均有.

方法2：由（Ⅱ）可知，當(dāng)時(shí)， 在區(qū)間單調(diào)遞增，

所以時(shí)， .

當(dāng)時(shí)， 由（Ⅱ）可知， 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

因?yàn)?/span>， ，

所以存在唯一的實(shí)數(shù)，使得，

且當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， ，

所以在上單調(diào)遞增， 在上單調(diào)遞減.

又 ， ,

所以當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意的，.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，均有.