Question

設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（-1）=0，若不等式

x1f(x1)-x2f(x2)

x1-x2

＜0對(duì)區(qū)間（-∞，0）內(nèi)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x₁，x₂都成立，則不等式xf（2x）＜0解集是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由

x1f(x1)-x2f(x2)

x1-x2

＜0對(duì)區(qū)間（-∞，0）內(nèi)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x₁，x₂都成立，知g（x）=xf（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，由f（x）的奇偶性可判斷g（x）的奇偶性及特殊點(diǎn)，從而可作出草圖，由圖象可解g（2x）＜0，進(jìn)而得到答案．

解答： 解：∵

x1f(x1)-x2f(x2)

x1-x2

＜0對(duì)區(qū)間（-∞，0）內(nèi)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x₁，x₂都成立，
∴函數(shù)g（x）=xf（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，
又 f（x）為奇函數(shù)，∴g（x）=xf（x）為偶函數(shù)，
g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且g（-1）=g（1）=0，
作出g（x）的草圖如圖所示：
xf（2x）＜0即2xf（2x）＜0，g（2x）＜0，
由圖象得，-1＜2x＜0或0＜2x＜1，解得-

1

2

＜x＜0或0＜x

1

2

，
∴不等式xf（2x）＜0解集是（-

1

2

，0）∪（0，

1

2

），
故答案為：（-

1

2

，0）∪（0，

1

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及其應(yīng)用，考查不等式的求解，綜合運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)化抽象不等式為具體不等式是解題關(guān)鍵．