Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx﹣ a（x﹣1）（a∈R）．
（1）若a=﹣2，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）若不等式f（x）＜0對(duì)任意x∈（1，+∞）恒成立． （ⅰ）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（ⅱ）試比較ea﹣2與ae﹣2的大小，并給出證明（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e=2.71828）．

Answer 1

【答案】
（1）解：因?yàn)閍=﹣2時(shí)，f（x）=inx+x﹣1， ．

所以切點(diǎn)為（1，0），k=f′（1）=2．

所以a=﹣2時(shí)，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=2x﹣2．

（2）解：（ i）由f（x）=lnx﹣ a（x﹣1），

所以 ，

①當(dāng)a≤0時(shí)，x∈（1，+∞），f′（x）＞0，

∴f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，f（x）＞f（1）=0，

∴a≤0不合題意．

②當(dāng)a≥2即 時(shí)， 在（1，+∞）上恒成立，

∴f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，有f（x）＜f（1）=0，

∴a≥2滿足題意．

③若0＜a＜2即 時(shí)，由f′（x）＞0，可得 ，由f′（x）＜0，可得x ，

∴f（x）在 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減，

∴ ，

∴0＜a＜2不合題意．

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[2，+∞）．

（ ii）a≥2時(shí)，“比較ea﹣2與ae﹣2的大小”等價(jià)于“比較a﹣2與（e﹣2lna）的大小”

設(shè)g（x）=x﹣2﹣（e﹣2）lnx，（x≥2）．

則 ．

∴g（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，因?yàn)間（e）=0．

當(dāng)x∈[2，e）時(shí)，g（x）＜0，即x﹣2＜（e﹣2）lnx，所以ex﹣2＜xe﹣2．

當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)g（x）＞0，即x﹣2＞（e﹣2）lnx，∴ex﹣2＞xe﹣2．

綜上所述，當(dāng)a∈[2，e）時(shí)，ea﹣2＜ae﹣2；

當(dāng)a=e時(shí)，ea﹣2=ae﹣2；

當(dāng)a∈（e，+∞）時(shí)，ea﹣2＞ae﹣2

【解析】（1）一求切點(diǎn)，二求切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，即切線的斜率；（2）只需求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上的最大值即可，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，進(jìn)一步求其最值構(gòu)造不等式求解；比較大小可將兩個(gè)值看成函數(shù)值，然后利用函數(shù)的性質(zhì)求解．