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【題目】已知函數f(x)=lnx﹣ a(x﹣1)(a∈R).
(1)若a=﹣2,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;
(2)若不等式f(x)<0對任意x∈(1,+∞)恒成立. (。┣髮崝礱的取值范圍;
(ⅱ)試比較ea2與ae2的大小,并給出證明(e為自然對數的底數,e=2.71828).

【答案】
(1)解:因為a=﹣2時,f(x)=inx+x﹣1,

所以切點為(1,0),k=f′(1)=2.

所以a=﹣2時,曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y=2x﹣2.


(2)解:( i)由f(x)=lnx﹣ a(x﹣1),

所以 ,

①當a≤0時,x∈(1,+∞),f′(x)>0,

∴f(x)在(1,+∞)上單調遞增,f(x)>f(1)=0,

∴a≤0不合題意.

②當a≥2即 時, 在(1,+∞)上恒成立,

∴f(x)在(1,+∞)上單調遞減,有f(x)<f(1)=0,

∴a≥2滿足題意.

③若0<a<2即 時,由f′(x)>0,可得 ,由f′(x)<0,可得x ,

∴f(x)在 上單調遞增,在 上單調遞減,

,

∴0<a<2不合題意.

綜上所述,實數a的取值范圍是[2,+∞).

( ii)a≥2時,“比較ea2與ae2的大小”等價于“比較a﹣2與(e﹣2lna)的大小”

設g(x)=x﹣2﹣(e﹣2)lnx,(x≥2).

∴g(x)在[2,+∞)上單調遞增,因為g(e)=0.

當x∈[2,e)時,g(x)<0,即x﹣2<(e﹣2)lnx,所以ex2<xe2

當x∈(e,+∞)時g(x)>0,即x﹣2>(e﹣2)lnx,∴ex2>xe2

綜上所述,當a∈[2,e)時,ea2<ae2

當a=e時,ea2=ae2;

當a∈(e,+∞)時,ea2>ae2


【解析】(1)一求切點,二求切點處的導數,即切線的斜率;(2)只需求出函數f(x)在區(qū)間[1,+∞)上的最大值即可,利用導數研究單調性,進一步求其最值構造不等式求解;比較大小可將兩個值看成函數值,然后利用函數的性質求解.

練習冊系列答案
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表一:男生

表二:女生

(1)從表二的非優(yōu)秀學生中隨機抽取2人交談,求所選2人中恰有1人測評等級為合格的概率;

(2)由表中統(tǒng)計數據填寫下面的列聯表,并判斷是否有90%的把握認為“測評結果優(yōu)秀與性別有關”.

參考公式: ,其中.

參考數據:

0.10

0.05

0.01

2.706

3.841

6.635

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月份

7

8

9

10

11

12

銷售單價(元)

9

9.5

10

10.5

11

8

銷售量(件)

11

10

8

6

5

14

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(2)若由回歸直線方程得到的估計數據與剩下的檢驗數據的誤差不超過0.5元,則認為所得到的回歸直線方程是理想的,試問(1)中所得到的回歸直線方程是否理想?

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 參考公式:回歸直線方程,其中,參考數據:

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