Question

設(shè)函數(shù)f（x）=sin²x+2sinxcosx+3cos²x
（Ⅰ）若x∈R，求函數(shù)f（x）的最小正周期
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A、B、C的 對邊，若bsinA=

3

accosB，求f（B）的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法,余弦定理

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（Ⅰ）首先通過三角恒等變換，把函數(shù)關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進一步利用公式求出函數(shù)的最小正周期．
（Ⅱ）利用正弦定理，首先求出角B的值，進一步利用函數(shù)的關(guān)系式求出結(jié)果．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=sin²x+2sinxcosx+3cos²x
=sin2x+2cos²x+1
=sin2x+cos2x+2
=

2

sin(2x+

π

4

)+2，
所以函數(shù)的最小正周期為：T=

2π

2

=π；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A、B、C的 對邊，若bsinA=

3

acosB，
利用正弦定理得：

a

sinA

=

b

3 cosB

=

b

sinB

，
所以：

3

cosB=sinB，
整理得：tanB=

3

，
由于：0＜B＜π，
則：B=

π

3

；
f（B）=

2

sin(2B+

π

4

)+2
=

2

sin(

2π

3

+

π

4

)+2
=

3+ 3

2

．

點評：本題考查的知識要點：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)周期性的應(yīng)用，正弦定理得應(yīng)用，及相關(guān)的運算問題．屬于基礎(chǔ)題型．