Question

如圖所示，在斜邊為AB的Rt△ABC中，過A作PA⊥平面ABC，AM⊥PB于M，
AN⊥PC于N．（Ⅰ）求證：BC⊥面PAC；
（Ⅱ）求證：PB⊥面AMN．
（Ⅲ）若PA=AB=4，設(shè)∠BPC=θ，試用tanθ表示△AMN 的面積，當(dāng)tanθ取何值時(shí)，△AMN的面積最大？最大面積是多少？

Answer 1

分析：（Ⅰ）由PA⊥平面ABC，可得PA⊥BC，又AB為斜邊，得BC⊥AC，PA∩AC=A，由直線和平面垂直的判定
定理證得BC⊥平面PAC．
（Ⅱ）由BC⊥平面PAC證得BC⊥AN，又AN⊥PC，可得AN⊥面PBC，從而AN⊥PB．
（Ⅲ）由PB⊥面AMN，可得PB⊥MN，再由AN⊥平面PBC，可得AN⊥MN，故△AMN為直角三角形．用勾股定理
求出AN的值，根據(jù)S△AMN=

1

2

AN•MN=4

-(tan2θ- 1 2 )2+ 1 4

，求得它的最大值．

解答：解：（Ⅰ）證明：∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC．
∴PA⊥BC，又AB為斜邊，∴BC⊥AC，PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC．（4分）
（Ⅱ）證明：∵BC⊥平面PAC，AN?平面PAC，∴BC⊥AN，又AN⊥PC，且BC∩PC=C，
∴AN⊥面PBC，又PB?平面PBC．∴AN⊥PB．
又∵PB⊥AM，AM∩AN=A，∴PB⊥平面AMN．（9分）
（Ⅲ）解：在Rt△PAB中，PA=AB=4，∴PB=4

2

，∵AM⊥PB，∴AM=

1

2

PB=2

2

，∴PM=BM=2

2

．
又∵PB⊥面AMN，MN?平面AMN．∴PB⊥MN．∵M(jìn)N=PM•tanθ=2

2

tanθ，
∵AN⊥平面PBC，MN?平面PBC．∴AN⊥MN．
∵AN=

AM2-MN2

=

(2 2 )2-8tan2θ

=

8-8tan2

θ，∴S△AMN=

1

2

AN•MN=

1

2

•2

2

•

1-tan2θ

•2

2

tanθ=4

-(tan2θ- 1 2 )2+ 1 4

．
∴當(dāng)tan²θ=

1

2

，即tanθ=

2

2

時(shí)，S_△AMN有最大值為2，
∴當(dāng)tanθ=

2

2

時(shí)，S_△AMN面積最大，最大值為2．    　　  　 （16分）

點(diǎn)評(píng)：題考查證明線面垂直的方法，直線和平面垂直的判定、性質(zhì)的應(yīng)用，求出△AMN的面積并化簡，是解題的
難點(diǎn)和關(guān)鍵，屬于中檔題．