Question

（2012•四川）如圖，動(dòng)點(diǎn)M與兩定點(diǎn)A（-1，0）、B（1，0）構(gòu)成△MAB，且直線MA、MB的斜率之積為4，設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為C．
（Ⅰ）求軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線y=x+m（m＞0）與y軸交于點(diǎn)P，與軌跡C相交于點(diǎn)Q、R，且|PQ|＜|PR|，求

|PR|

|PQ|

的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)出點(diǎn)M（x，y），表示出兩線的斜率，利用其乘積為4，建立方程化簡(jiǎn)即可得到點(diǎn)M的軌跡方程；
（Ⅱ）直線y=x+m與4x²-y²-4=0（x≠±1）聯(lián)立，消元可得3x²-2mx-m²-3=0，結(jié)合題設(shè)（m＞0）可知，m＞0且m≠1設(shè)Q，R的坐標(biāo)，求出x_R，x_Q，利用

|PR|

|PQ|

=

xR

xQ

，即可確定

|PR|

|PQ|

的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)M（x，y），則k_MA=

y

x+1

，k_MB=

y

x-1

∵直線MA、MB的斜率之積為4，
∴

y

x+1

×

y

x-1

=4
∴4x²-y²-4=0
又x=±1時(shí)，必有一個(gè)斜率不存在，故x≠±1
綜上點(diǎn)M的軌跡方程為4x²-y²-4=0（x≠±1）
（Ⅱ）直線y=x+m與4x²-y²-4=0（x≠±1）聯(lián)立，消元可得3x²-2mx-m²-4=0①
∴△=16m²+48＞0
當(dāng)1或-1是方程①的根時(shí)，m的值為1或-1，結(jié)合題設(shè)（m＞0）可知，m＞0且m≠1
設(shè)Q，R的坐標(biāo)分別為（x_Q，y_Q），（x_R，y_R），
∵|PQ|＜|PR|，∴x_R=

m+2 m2+3

3

，x_Q=

m-2 m2+3

3

，
∴

|PR|

|PQ|

=

-xR

xQ

=

- m+2 m2+3 3

m-2 m2+3 3

=1-

2

1-2 1+ 3 m2

∵m＞0且m≠1
∴1+

3

m2

＞1，且1+

3

m2

≠4
∴1＜1-

2

1-2 1+ 3 m2

＜3，且1-

2

1-2 1+ 3 m2

≠

5

3

∴

|PR|

|PQ|

的取值范圍是（1，

5

3

）∪（

5

3

，3）

點(diǎn)評(píng)：本題以斜率為載體，考查直線、雙曲線、軌跡方程的求解，考查思維能力，運(yùn)算能力，考查思維的嚴(yán)謹(jǐn)性．