【題目】如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面平面，，是的中點(diǎn)，，.

（1）求證：；

（2）若二面角的正弦值為，求四棱錐的體積.

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】分析：（1）由幾何關(guān)系可證得直線，，兩兩垂直.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè).由空間向量的結(jié)論可證得，則.

（2）由（1）可得，.由空間向量計(jì)算可得.則四棱錐的體積.

詳解：（1）設(shè)的中點(diǎn)為，連接，由四邊形是矩形，得.

∵，是的中點(diǎn)，∴.

∵平面平面，平面平面，

∴平面. ∴. ∴直線，，兩兩垂直.

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè).

依題意得，，，，，，.

∴，.∵，

∴，即.

（2）由（1）可得，.

設(shè)平面的法向量為，則，，

∴即

令，則是平面的一個(gè)法向量，同理可得是平面的一個(gè)法向量.設(shè)二面角的大小為，

則. ∴，解得.

∴四棱錐的體積.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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0.5

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