Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且a_n是b_n和1的等差中項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若，求；
（3）若是否存在n∈N^*，使f（n+11）=2f（n）？說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用a_n與S_n的關(guān)系求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，然后利用a_n是b_n和1的等差中項(xiàng)，求出{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）求出數(shù)列{C_n}的通項(xiàng)公式，然后利用裂項(xiàng)法求和．
（3）先求出f（n）的表達(dá)式，然后通過等式f（n+11）=2f（n），求n．
解答：解：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103173230906839556/SYS201311031732309068395016_DA/0.png">，
所以當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n-1，n=1也成立，
所以a_n=n-1．
因?yàn)閍_n是b_n和1的等差中項(xiàng)，所以b_n+1=2a_n，所以b_n=2a_n-1=2n-3…（3分）．
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103173230906839556/SYS201311031732309068395016_DA/1.png">，
所以==…（6分）
（3）當(dāng)n=2k-1時(shí)，f（n+11）=2n+19，
2f（n）=2（n-1），f（n+11）=2f（11）
⇒2n+19=2n-2無解  …（9分）
當(dāng)n=2k（k∈z）時(shí)f（n）=2n-3，f（n+1）=n+10，f（n+11）=2f（n），
所以n+10=4n-6，此時(shí)無整數(shù)解，
故這樣的值不存在．              …（12分）
點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式以及利用裂項(xiàng)法求和．考查學(xué)生的運(yùn)算能力