Question

已知函數(shù) (為實(shí)常數(shù)) ．

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最大值及相應(yīng)的值；

（2）當(dāng)時(shí)，討論方程根的個(gè)數(shù)．

（3）若，且對(duì)任意的，都有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）.；（2）時(shí)，方程有2個(gè)相異的根. 或時(shí)，方程有1個(gè)根. 時(shí)，方程有0個(gè)根.（3）.

【解析】

試題分析：（1）通過求導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性，在對(duì)比區(qū)間的兩端點(diǎn)的函數(shù)值即可求得函數(shù)的最大值.（2）由于參數(shù)的變化.可以采取分離變量的方法，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題.其中一個(gè)是垂直于y軸的直線，另一個(gè)是通過求出函數(shù)的走向.根據(jù)圖像即可得到結(jié)論.（3）將要說明的結(jié)論通過變形得到一個(gè)等價(jià)問題從而證明新的函數(shù)的單調(diào)性，使得問題巧妙地轉(zhuǎn)化.本題只是容量大.通過研究函數(shù)的單調(diào)性，含參函數(shù)的討論.與不等式的相結(jié)合轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性的證明.

試題解析：（1），當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，又，

故，當(dāng)時(shí)，取等號(hào)                 4分

（2）易知，故，方程根的個(gè)數(shù)等價(jià)于時(shí)，方程根的個(gè)數(shù)． 設(shè)=，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞增．又，，作出與直線的圖像，由圖像知：

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，方程有2個(gè)相異的根；

當(dāng) 或時(shí)，方程有1個(gè)根；

當(dāng)時(shí)，方程有0個(gè)根；              10分

（3）當(dāng)時(shí)，在時(shí)是增函數(shù)，又函數(shù)是減函數(shù)，不妨設(shè)，則等價(jià)于

即，故原題等價(jià)于函數(shù)在時(shí)是減函數(shù)，

恒成立，即在時(shí)恒成立．

在時(shí)是減函數(shù)      16分

（其他解法酌情給分）

考點(diǎn)：1.函數(shù)的最值問題.2.函數(shù)的單調(diào)性.3.函數(shù)與不等式的關(guān)系以及轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性的證明.