Question

【題目】如圖，直三棱柱中，，，，，M、N分別是和的中點.

（1）求異面直線與所成的角；

（2）求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）（2）2

【解析】

（1）過A作AQ∥C1N，交A1C1于Q，連接B1Q，可得∠B1AQ（或其補角）是異面直線AB1與C1N所成角．在△B1AQ中，分別求出AB1、AQ和B1Q的長，結(jié)合余弦定理算出cos∠B1AQ的值，從而得到異面直線AB1與C1N所成的角是arccos；

（2）平面A1B1C1中，過M作MH⊥A1C1于H．根據(jù)直三棱柱的性質(zhì)結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理，得到MH⊥平面AA1C1C，MH是三棱錐M﹣C1CN的高．算出MH的長和△C1CN的面積，結(jié)合三棱錐的體積公式，可得三棱錐M﹣C1CN的體積．

（1）平面AA1C1C中，過A作AQ∥C1N，交A1C1于Q，連接B1Q

∴∠B1AQ（或其補角）就是異面直線AB1與C1N所成的角

矩形AA1C1C中，N是AC中點，可得Q是A1C1中點

Rt△AA1B1中，AB15，同理可得AQ

∵等腰Rt△A1B1C1中，B1Q是斜邊的中線

∴B1QA1B1＝2，

△B1AQ中，cos∠B1AQ0

∴∠B1AQ＝arccos，即異面直線AB1與C1N所成的角等于arccos；

（2）平面A1B1C1中，過M作MH⊥A1C1于H

∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面A1B1C1，CC1平面AA1C1C

∴平面AA1C1C⊥平面A1B1C1，

∵平面AA1C1C⊥平面A1B1C1＝A1C1，MH⊥A1C1，

∴MH⊥平面AA1C1C，MH是三棱錐M﹣C1CN的高線

∵△B1C1Q中，M是B1C1中點，MH∥B1Q

∴MH是△B1C1Q的中位線，得MH

∵△C1CN的面積SCN×C1C23＝3

∴三棱錐M﹣C1CN的體積32