Question

【題目】已知直線l：y=4x和點(diǎn)P（6，4），點(diǎn)A為第一象限內(nèi)的點(diǎn)且在直線l上，直線PA交x軸正半軸于點(diǎn)B，
（1）當(dāng)OP⊥AB時(shí)，求AB所在直線的直線方程；
（2）求△OAB面積的最小值，并求當(dāng)△OAB面積取最小值時(shí)的B的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵點(diǎn)P（6，4），∴kOP= ，

∵OP⊥AB，∴kAB= ，

∵AB過(guò)點(diǎn)P（6，4），

∴AB的方程為y﹣4= （x﹣6）

化為一般式可得：3x+2y﹣26=0

（2）解：設(shè)點(diǎn)A（a 4a），a＞0，點(diǎn)B坐標(biāo)為（b，0），b＞0，

則直線PA的斜率為 = ，解得b= ，故B的坐標(biāo)為（ ，0），

故△OAB面積為S= × ×4a= ，即10a2﹣Sa+S=0．

由題意可得方程10a2﹣Sa+S=0有解，故判別式△=S2﹣40S≥0，S≥40，

故S的最小值等于40，此時(shí)方程為a2﹣4a=4=0，解得a=2．

綜上可得，△OAB面積的最小值為40，

當(dāng)△OAB面積取最小值時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（10，0）．

【解析】（1）由垂直關(guān)系可得kAB= ，由AB過(guò)點(diǎn)P（6，4）可得點(diǎn)斜式方程，化為一般式可得；（2）設(shè)點(diǎn)A（a 4a），a＞0，點(diǎn)B坐標(biāo)為（b，0），b＞0，可得△OAB面積為S= × ×4a= ，即10a2﹣Sa+S=0，由判別式△=S2﹣40S≥0可得S≥40，即S的最小值等于40，代入解此時(shí)的方程可得B坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了一般式方程的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握直線的一般式方程：關(guān)于的二元一次方程（A，B不同時(shí)為0）才能正確解答此題．