已知函數(shù)f（x）=lnx+x2+ax．
（I）當(dāng)a=-4時(shí)，求方程f（x）+x2=0在（1，+∞）上的根的個(gè)數(shù)；
（II）若f（x）既有極大值又有極小值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解：（I）當(dāng)a=-4時(shí)，令g（x）=f（x）+x2=lnx+2x2-4x，
只要求出g（x）在區(qū)間（1，+∞）上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可，
由g′（x）=+4x-4=在（1，+∞）上恒大于0可知，
g（x）在區(qū)間（1，+∞）上是單調(diào)遞增的函數(shù)，
又由g（1）=-2＜0，g（2）=ln2＞0，
故g（x）在區(qū)間（1，+∞）上恰有1個(gè)零點(diǎn)；
（II）由題意可得g′（x）=+2x+a=
在（0，+∞）上恰有兩個(gè)互不相等的零點(diǎn)即可，
只需對(duì)分子上的二次函數(shù)有，解得a＜
分析：（I）把a(bǔ)=-4代入，令g（x）=f（x）+x2=lnx+2x2-4x，只要求出g（x）在區(qū)間（1，+∞）上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可，求導(dǎo)數(shù)可知g（x）在區(qū)間（1，+∞）上是單調(diào)遞增的函數(shù)，結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理可得結(jié)論；
（II）由題意只需g′（x）在（0，+∞）上恰有兩個(gè)互不相等的零點(diǎn)即可，進(jìn)而可得，解之即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查用導(dǎo)數(shù)工具研究函數(shù)的極值，涉及二次函數(shù)的性質(zhì)，屬中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，若直線l：y=kx-2與曲線y=f（x）在（-∞，0）上有公共點(diǎn)，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）證明：對(duì)任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）對(duì)于函數(shù)f（x）圖象上的不同兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數(shù)f（x）圖象上存在點(diǎn)M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得點(diǎn)M處的切線l∥AB，則稱直線AB存在“伴侶切線”．特別地，當(dāng)x0=
x1+x2
2
時(shí)，又稱直線AB存在“中值伴侶切線”．試問：當(dāng)x≥e時(shí)，對(duì)于函數(shù)f（x）圖象上不同兩點(diǎn)A、B，直線AB是否存在“中值伴侶切線”？證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y-1=0垂直，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項(xiàng)和為Sn，則S2012的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)；
（Ⅱ）若直線l過點(diǎn)（0，-1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）試就實(shí)數(shù)a的不同取值，寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）已知當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)在（0，
6
）上單調(diào)遞減，在（
6
，+∞）上單調(diào)遞增，求a的值并寫出函數(shù)的解析式；
（3）記（2）中的函數(shù)圖象為曲線C，試問是否存在經(jīng)過原點(diǎn)的直線l，使得l為曲線C的對(duì)稱軸？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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