Question

已知x，y滿(mǎn)足不等式組

y≤x x+y≥2 x≤2

，則z=2x+y的最大值與最小值比為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃

專(zhuān)題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，即可求最值．

解答： 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）．
由z=2x+y得y=-2x+z，
平移直線(xiàn)y=-2x+z，
由圖象可知當(dāng)直線(xiàn)y=-2x+z經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，直線(xiàn)y=-2x+z的截距最大，
此時(shí)z最大．
由

x=2 y=x

，解得

x=2 y=2

，即B（2，2），
代入目標(biāo)函數(shù)z=2x+y得z=2×2+2=6．
即目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最大值為6．
當(dāng)直線(xiàn)y=-2x+z經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線(xiàn)y=-2x+z的截距最小，
此時(shí)z最小．
由

y=x x+y=2

，解得

x=1 y=1

，即A（1，1），
代入目標(biāo)函數(shù)z=2x+y得z=2+1=3．
即目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最小值為3．
則z=2x+y的最大值與最小值比為6：3=2：1
故答案為：2：1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線(xiàn)性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類(lèi)問(wèn)題的基本方法．