Question

（本小題滿分15分）已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其離心率為.

  (1) 求橢圓的方程；

  (2)設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn),以線段為鄰邊作平行四邊形，其中頂點(diǎn)在橢圓上，為坐標(biāo)原點(diǎn).求到直線的距離的最小值.

 

Answer 1

【答案】

(1) ； (2)點(diǎn)到直線的距離的最小值為.

【解析】本試題主要是考查了橢圓的方程的求解，以及直線與橢圓的位置關(guān)系的總額和運(yùn)用。

（1）利用橢圓的幾何性質(zhì)可知參數(shù)a,b,c的關(guān)系式，進(jìn)而求解得到。

（2）設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，得到關(guān)于x的一元二次方程，然后結(jié)合韋達(dá)定理和點(diǎn)到直線的距離公式求解得到最小值。

(1) ----------------------------（4分）

 (2)當(dāng)直線有斜率時(shí),設(shè):,由消去,得

,

  ㈠

設(shè)三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,則以線段為鄰邊作平行四邊形,,----------------------------------(6分)

 

  由于點(diǎn)在橢圓上，所以,從而，

化簡(jiǎn)得   ,經(jīng)檢驗(yàn)滿足㈠式

  又點(diǎn)到直線的距離為

  當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.-------------------------------（10分）

  當(dāng)直線無(wú)斜率時(shí),由對(duì)稱性知,點(diǎn)一定在軸上,從而點(diǎn)為或,直線

  為,所以點(diǎn)到直線的距離為1.

  綜上,點(diǎn)到直線的距離的最小值為.--------------------------（12分）