如圖，己知橢圓長軸|A1A2|=6．焦距|F1F2|=4
2
．過橢圓焦點F1作一直線，交橢圓于兩點M，N．
（1）求橢圓的方程；
（2）當(dāng)∠F2F1M=
π
4
時，求|MN|的長．
分析：（1）由己知條件知，a=3，c=2
2
，焦點x軸（由圖可知），從而可求橢圓的方程；
（2）由MN所在直線方程y=x+2
2
與橢圓的方程為
x2
9
+y2=1聯(lián)立，用韋達(dá)定理結(jié)合弦長公式|MN|=
1+12
•|x1-x2|即可求得|MN|的長．
解答：解：（1）由己知條件知，a=3，c=2
2
，
∴b2=a2-c2=1，由圖可知，其焦點在x軸，
∴橢圓的方程為
x2
9
+y2=1．     （4分）
（2）∵F1（-2
2
，0），∠F2F1M=
π
4
，
∴MN所在直線方程為y=x+2
2
，
聯(lián)立方程組得：
x2
9
+y2=1
y=x+2
2
消去y得10x2+36
2
x+63=0，（6分）
設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），
則x1，x2是方程10x2+36
2
x+63=0的兩根，
∴x1+x2=-
18
2
5
，
∴x1•x2=
63
10
，（8分）
∴|MN|=
1+12
•|x1-x2|（10分）
=
2
•
(x1+x2)2-4x1•x2

=
2
•
648
25
-4×
63
10

=
2
•
3
2
5
=
6
5
．
∴|MN|=
6
5
．    （12分）
點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，著重考查弦長公式的應(yīng)用，突出考查方程思想與化歸思想，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)給出下列5個命題：
①0＜a≤
1
5
是函數(shù)f（x）=ax2+2（a-1）x+2在區(qū)間（-∞，4]上為單調(diào)減函數(shù)的充要條件；
②如圖所示，“嫦娥探月衛(wèi)星”沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球，在月球附近一點P進(jìn)入以月球球心F為一個焦點的橢圓軌道I繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個焦點的橢圓軌道II繞月飛行，最終衛(wèi)星在P點第三次變軌進(jìn)入以F為圓心的圓形軌道III繞月飛行，若用2Cl和2c2分別表示摘圓軌道I和II的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道I和II的長軸的長，則有c1a2＞a1c2；
③函數(shù)y=f（x）與它的反函數(shù)y=f-1（x）的圖象若相交，則交點必在直線y=x上；
④己知函數(shù)f（x）=loga（1-ax）在（O，1）上滿足，f′（x）＞0，貝U
1
1-a
＞1+a＞
2a
；
⑤函數(shù)f（x）=
tan2x+
(1+i)2
i
+1
tan2x+2
（x≠kπ+
π
2
），k∈Z，/為虛數(shù)單位）的最小值為2；
其中所有真命題的代號是
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

己知在銳角ΔABC中，角所對的邊分別為，且

(I )求角大小；

(II)當(dāng)時，求的取值范圍.

20．如圖1，在平面內(nèi)，是的矩形，是正三角形，將沿折起，使如圖2，為的中點，設(shè)直線過點且垂直于矩形所在平面，點是直線上的一個動點，且與點位于平面的同側(cè)。

（1）求證：平面；

（2）設(shè)二面角的平面角為，若，求線段長的取值范圍。

 


21.已知A，B是橢圓的左，右頂點，，過橢圓C的右焦點F的直線交橢圓于點M，N，交直線于點P，且直線PA，PF，PB的斜率成等差數(shù)列,R和Q是橢圓上的兩動點，R和Q的橫坐標(biāo)之和為2，RQ的中垂線交X軸于T點

(1)求橢圓C的方程；

（2）求三角形MNT的面積的最大值

22. 已知函數(shù) ，

（Ⅰ）若在上存在最大值與最小值，且其最大值與最小值的和為，試求和的值。

（Ⅱ）若為奇函數(shù)：

（1）是否存在實數(shù)，使得在為增函數(shù)，為減函數(shù)，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由；

（2）如果當(dāng)時，都有恒成立，試求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2008-2009學(xué)年廣東省華南師大附中高三綜合測試數(shù)學(xué)試卷3（文科）（解析版） 題型：解答題

如圖，己知橢圓長軸|A1A2|=6．焦距．過橢圓焦點F1作一直線，交橢圓于兩點M，N．
（1）求橢圓的方程；
（2）當(dāng)時，求|MN|的長．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011年四川省自貢市高考數(shù)學(xué)三模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

給出下列5個命題：
①0＜a≤是函數(shù)f（x）=ax2+2（a-1）x+2在區(qū)間（-∞，4]上為單調(diào)減函數(shù)的充要條件；
②如圖所示，“嫦娥探月衛(wèi)星”沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球，在月球附近一點P進(jìn)入以月球球心F為一個焦點的橢圓軌道I繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個焦點的橢圓軌道II繞月飛行，最終衛(wèi)星在P點第三次變軌進(jìn)入以F為圓心的圓形軌道III繞月飛行，若用2Cl和2c2分別表示摘圓軌道I和II的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道I和II的長軸的長，則有c1a2＞a1c2；
③函數(shù)y=f（x）與它的反函數(shù)y=f-1（x）的圖象若相交，則交點必在直線y=x上；
④己知函數(shù)f（x）=loga（1-ax）在（O，1）上滿足，f′（x）＞0，貝U＞1+a＞；
⑤函數(shù)f（x）=（x≠kπ+），k∈Z，/為虛數(shù)單位）的最小值為2；
其中所有真命題的代號是    ．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案