Question

已知c≥1，a+b+c≥1（a∈N^*）．若方程ax³+bx+c=0有兩個小于1的不等正根，則a的最小值為

5

．

Answer 1

分析：將二次函數(shù)f（x）設(shè)成兩點式形式，根據(jù)條件寫出兩點式形式的關(guān)系式，將a分離出來，然后利用基本不等式求出最值即可．

解答：解：設(shè)f（x）=a（x-p）（x-q），其中p，q屬于（0，1）且p不等于q．
由f（0）≥1及f（1）≥1，可得：apq≥1，a（1-p）（1-q）≥1，
兩式相乘有a²p（1-p）q（1-q）≥1，即a²≥

1

p(1-p)q(1-q)

，
又由基本不等式可得：p（1-p）q（1-q）≤

1

16

由于上式取等號當(dāng)且僅當(dāng)p=q=

1

2

與已知矛盾，故上式的等號取不到，
故p（1-p）q（1-q）＜

1

16

因此得到a²＞16即a＞4
如：函數(shù)f（x）=5x²-5x+1滿足題設(shè)的所有條件，
因此a的最小值為5．
故選答案為：5．

點評：本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合運用，以及根的分布問題，本題解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用基本不等式求最值，屬于中檔題目．