Question

已知點A（-1，0）、B（1，0）和動點M滿足：∠AMB=2θ，且|AM|•|BM|cos²θ=3，動點M的軌跡為曲線C，過點B的直線交C于P、Q兩點．
（1）求曲線C的方程；
（2）求△APQ面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出M的坐標(biāo)，利用余弦定理求得|AM|²+|BM²|-2|AM|•|BM|cos2θ=4整理求得|AM|+|BM|為定值，利用橢圓的定義可推斷出點M的軌跡是以A、B為焦點的橢圓，進而求得a和c，則b可求，進而求得橢圓的方程．
（2）設(shè)直線PQ方程與橢圓的方程聯(lián)立消去x，設(shè)出P，Q的坐標(biāo)利用韋達定理表示出y₁+y₂和y₁y₂，進而求得（y₁-y₂）²的表達式，令t=3m²+3，利用y=t+

1

t

的單調(diào)性求得（y₁-y₂）²的范圍，進而代入三角形面積公式求得面積的最大值．

解答：解：（1）設(shè)M（x，y），在△MAB中，|AB|=2，∠AMB=2θ，
由余弦定理可得|AM|²+|BM²|-2|AM|•|BM|cos2θ=4，
整理變形可得|AM|+|BM|=4，
因此點M的軌跡是以A、B為焦點的橢圓，a=2，c=1
∴曲線C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1
（2）設(shè)直線PQ方程為x=my+1（m∈R）由

x=my+1 x2 4 + y2 3 =1

得：（3m²+4）y²+6my-9=0
顯然，方程①的△＞0，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則有S=

1

2

×2×|y₁-y₂|=|y₁-y₂|
y₁+y₂=-

6m

3m2+4

，y₁y₂=-

9

3m2+4

（y₁-y₂）²=（y₁+y₂）²-4y₁y₂=48×

3m2+3

(3m2+4)2

令t=3m²+3，則t≥3，（y₁-y₂）²=

48

t+ 1 t +2

由于函數(shù)y=t+

1

t

在[3，+∞）上是增函數(shù)，∴t+

1

t

≥

10

3

故（y₁-y₂）²≤9，即S≤3
∴△APQ的最大值為3

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等，突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，故此類題平時應(yīng)注意多加訓(xùn)練．