一個(gè)等差派生數(shù)列的單調(diào)性各項(xiàng)都為正數(shù)且公差不為零的等差數(shù)列a1,a2,a3,…,an,把離首末兩項(xiàng)“距離”相等的兩項(xiàng)之積排成數(shù)列,則該數(shù)列是

[  ]
A.

遞減數(shù)列

B.

遞增數(shù)列

C.

奇數(shù)項(xiàng)遞增、偶數(shù)項(xiàng)遞減的數(shù)列

D.

先增后減的數(shù)列

答案:D
解析:

  取滿足已知條件的數(shù)列1,2,3,4,5,6.則按題目要求得到派生數(shù)列6,10,12,12,10,6.(*)

  根據(jù)數(shù)列(*)特點(diǎn)便可排除A、B、C.那么選項(xiàng)D正確嗎?數(shù)列(*)是先增后減的數(shù)列,遞增遞減也是有規(guī)律的.我們會(huì)想:對(duì)滿足條件的任意等差數(shù)列是否都有此結(jié)論呢?我們研究下面的命題:

  a1,a2,a3,…,an(n≥3)是公差不為零的等差數(shù)列,a1an,a2an-1,…,an-1a2,ana1是一個(gè)先增后減的數(shù)列,并且中間項(xiàng)最大.

  設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,記數(shù)列a1an,a2an-1,…,an-1a2,ana1的第k項(xiàng)為bk,則bk=akan-k+1(k∈N*),

  ∴bk+1-bk=ak+1an-k-akan-k+1

  =(ak+d)(an-k+1-d)-akan-k+1

 。(an-k+1-ak)d-d2

 、偃鬾為奇數(shù),當(dāng)k<時(shí),bk+1>bk;當(dāng)k>時(shí),bk+1<bk

  ∴b1<b2<…<>…>bn

  ∴{bn}是一個(gè)先增后減的數(shù)列,并且中間項(xiàng)最大.

 、偃鬾為偶數(shù),當(dāng)k<時(shí),bk+1>bk;當(dāng)k=時(shí),bk+1=bk;當(dāng)k>時(shí),bk+1<bk

  ∴b1<b2<…<+2>…>bn

  ∴{bn}是一個(gè)先增后減的數(shù)列,并且中間兩項(xiàng)相等且最大,都等于

  綜上證明知,a1an,a2an-1,…,an-1a2,ana1是一個(gè)先增后減的數(shù)列,并且中間項(xiàng)最大.故選D.


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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:設(shè)計(jì)必修五數(shù)學(xué)北師版 北師版 題型:013

一個(gè)等差派生數(shù)列的單調(diào)性各項(xiàng)都為正數(shù)且公差不為零的等差數(shù)列a1,a2,a3,…,an,把離首末兩項(xiàng)“距離”相等的兩項(xiàng)之積排成數(shù)列,則該數(shù)列是

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A.

遞減數(shù)列

B.

遞增數(shù)列

C.

奇數(shù)項(xiàng)遞增、偶數(shù)項(xiàng)遞減的數(shù)列

D.

先增后減的數(shù)列

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