Question

一個(gè)等差派生數(shù)列的單調(diào)性各項(xiàng)都為正數(shù)且公差不為零的等差數(shù)列a₁，a₂，a₃，…，a_n，把離首末兩項(xiàng)“距離”相等的兩項(xiàng)之積排成數(shù)列，則該數(shù)列是

[　　]

A．

遞減數(shù)列

B．

遞增數(shù)列

C．

奇數(shù)項(xiàng)遞增、偶數(shù)項(xiàng)遞減的數(shù)列

D．

先增后減的數(shù)列

Answer 1

答案：C
解析：

取滿足已知條件的數(shù)列1，2，3，4，5，6．則按題目要求得到派生數(shù)列6，10，12，12，10，6．(*)根據(jù)數(shù)列(*)的特點(diǎn)便可排除A、B、C．那么選項(xiàng)D正確嗎？數(shù)列(*)是先增后減的數(shù)列，遞增遞減也是有規(guī)律的．我們會(huì)想：對(duì)滿足條件的任意等差數(shù)列是否都有此結(jié)論呢？我們研究下面的命題： 　　a1，a2，a3，…，an(n≥3)是公差不為零的等差數(shù)列，a1an，a2an－1，…，an－1a2，ana1是一個(gè)先增后減的數(shù)列，并且中間項(xiàng)最大． 　　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，記數(shù)列a1an，a2an－1，…，an－1a2，ana1的第k項(xiàng)為bk，則bk＝akan－k+1(k∈N*)， 　　∴bk+1－bk＝ak+1an－k－akan－k+1 　�。�(ak＋d)(an－k+1－d)－akan－k+1 　　＝(an－k+1－ak)d－d2． 　　(1)若n為奇數(shù)，當(dāng)k＜時(shí)，bk＋1＞bk； 　　當(dāng)k＞時(shí)，bk＋1＜bk． 　　∴b1＜b2＜…＜＜＞＞…＞bn． 　　∴{bn}是一個(gè)先增后減的數(shù)列，并且中間項(xiàng)最大． 　　(2)若n為偶數(shù)，當(dāng)k＜時(shí)，bk+1＞bk； 　　當(dāng)k＝時(shí)，bk+1＝bk； 　　當(dāng)k＞時(shí)，bk+1＜bk． 　　∴b1＜b2＜…＜＝＞＞…＞bn． 　　∴{bn}是一個(gè)先增后減的數(shù)列，并且中間兩項(xiàng)相等且最大，都等于aa． 　　綜上證明，知a1an，a2an－1，…，an－1a2，ana1是一個(gè)先增后減的數(shù)列，并且中間項(xiàng)最大．