Question

如圖，l₁、l₂是互相垂直的異面直線，MN是它們的公垂線段.點A、B在l₁上，C在l₂上，AM=MB=MN.

(Ⅰ)證明AC⊥NB；

(Ⅱ)若∠ACB=60°,求NB與平面ABC所成角的余弦值.

Answer 1

解法一：（Ⅰ）由已知l₂⊥MN,l₂⊥l₁,MN∩l₁=M,可得l₂⊥平面ABN，由已知MN⊥l₁,AM=MB=MN,可知AN=NB且AN⊥NB，又AN為AC在平面ABN內(nèi)的射影.

∴AC⊥NB.

（Ⅱ）∵Rt△CNA≌Rt△CNB.

∴AC=BC,又已知∠ACB=60°,因此△ABC為正三角形.

∵Rt△ANB≌Rt△CNB.

NC=NA=NB,因此N在平面ABC內(nèi)的射影H是正三角形ABC的中心，連結(jié)BH，∠NBH為NB與平面ABC所成的角.

    在Rt△NHB中，cos∠NBH===.

解法二：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系M-xyz.令MN=1,則有A(-1,0,0),B(1,0,0),N(0,1,0).

(Ⅰ)∵M(jìn)N是l₁,l₂的公垂線，l₂⊥l₁.∴l(xiāng)₂⊥平面ABN.∴l(xiāng)₂平行于z軸.

    故可設(shè)C（0，1，m）,于是=（1，1，m），=（1，-1，0）.

∵·=1+（-1）+0=0.

∴AC⊥NB.

(Ⅱ)∵=(1,1,m), =(-1,1,m),

∴||=||.

    又已知∠ACB=60°,∴△ABC為正三角形，AC=BC=AB=2.

    在Rt△CNB中，NB=，可得NC=，故C（0，1，）.

    連結(jié)MC，作MH⊥MC于H，設(shè)H（0，λ,λ）(λ＞0),

∴=(0,1-λ,-λ),=(0,1,).

∵·=1-λ-2λ=0,

∴λ=,

H(0,,),可得=(0,,-),連結(jié)BH，則=(-1,,).

∴·=0+-=0,∴⊥,又MC∩BH=H,

∴HN⊥平面ABC，∠NBH為NB與平面ABC所成的角.

    又=(-1,1,0),

cos∠NBH===.