Question

如圖，已知正四棱錐S-ABCD的底面邊長為2，高為

6

，P為棱SC的中點．
（1）求直線AP與平面SBC所成角的正弦值；
（2）求兩面角B-SC-D大小的余弦值；
（3）在正方形ABCD內(nèi)是否有一點Q，使得PQ⊥平面SDC？若存在，求PQ的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）設(shè)正方形ABCD的中心為O，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線AP與面SBC所成角的正弦值．
（2）分別求出平面SDC的法向量和平面SBC的法向量，利用向量法能求出二面角B-SC-D大小的余弦值．
（3）設(shè)Q（x，y，0），則

PQ

=(x+

1

2

，y-

1

2

，-

6

2

)，若PQ⊥平面SDC，則

PQ

∥

n2

，由

5

2

＞1，點Q不在正方形ABCD內(nèi)，故不存在滿足條件的點Q．

解答： 解：（1）設(shè)正方形ABCD的中心為O，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（1，-1，0），B（1，1，0），C（-1，1，0），
D（-1，-1，0），S（0，0，

6

），
∵P是SC的中點，∴P（-

1

2

，

1

2

，

6

2

）．…（2分）

AP

=(-

3

2

，

3

2

，

6

2

)，設(shè)平面SBC的法向量

n1

=（x₁，y₁，z₁），
則

n1 • BC =0 n1 • SB =0

，即

-2x1=0 x1+y1- 6 z1=0

，取

n1

=（0，

6

，1），
∴cos＜

AP

，

n1

＞=

2 6

6 × 7

=

2 7

7

，…（4分）
故直線AP與平面SBC所成角的正弦值為

2 7

7

．…（6分）
（2）設(shè)平面SDC的法向量

n2

=（x₂，y₂，z₂），則

n2 • DC =0 n2 • SC =0

，即

2y2=0 -x2+y2- 6 z2=0

，取

n2

=（-

6

，0，1），
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

1

7 • 7

=

1

7

，…（9分）
又二面角B-SC-D為鈍角二面角，
故二面角B-SC-D大小的余弦值為-

1

7

．…（11分）
（3）設(shè)Q（x，y，0），則

PQ

=(x+

1

2

，y-

1

2

，-

6

2

)，…（12分）
若PQ⊥平面SDC，則

PQ

∥

n2

，
∴

y- 1 2 =0 x+ 1 2 = 6 × 6 2

，解得

y= 1 2 x= 5 2

，…（15分）
但

5

2

＞1，點Q不在正方形ABCD內(nèi)，故不存在滿足條件的點Q．…（16分）

點評：本題考查直線與平面所成的角的正弦值求法，考查二面角的余弦值的求法，考查滿足條件的點是否存在的判斷與求法，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．