Question

【題目】已知橢圓的一個焦點(diǎn)為，離心率為.點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)， 為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線經(jīng)過點(diǎn)且與橢圓相切， 與圓相交于另一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，證明：直線與橢圓相切.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】試題分析：（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)得到， ，進(jìn)而求得方程；（2）由點(diǎn)P的坐標(biāo)寫出直線PA，由相切關(guān)系得到，同理，由直線與橢圓也得到： ，再由，可化簡得到.

解析：

（Ⅰ）解：由題意，知， ，

所以， ，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（Ⅱ）證明：由題意，點(diǎn)在圓上，且線段為圓的直徑，

所以.

當(dāng)直線軸時，易得直線的方程為，

由題意，得直線的方程為，

顯然直線與橢圓相切.

同理當(dāng)直線軸時，直線也與橢圓相切.

當(dāng)直線與軸既不平行也不垂直時，

設(shè)點(diǎn)，直線的斜率為，則，直線的斜率，

所以直線： ，直線： ，

由 消去，

得.

因?yàn)橹本�與橢圓相切，

所以，

整理，得（1）

同理，由直線與橢圓的方程聯(lián)立，

得.（2）

因?yàn)辄c(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，

所以，即.

代入（1）式，得，

代入（2）式，得

.

所以此時直線與橢圓相切.

綜上，直線與橢圓相切.