Question

直線(xiàn)y=mx+1與橢圓ax²+y²=2交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形OAPB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）若a=2，求點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）若a，m滿(mǎn)足a+2m²=1，求平行四邊形OAPB的面積函數(shù)S（a）的值域．

Answer 1

【答案】分析：（1）直線(xiàn)y=mx+1過(guò)定點(diǎn)（0，1），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則OP的中點(diǎn)M為，且有2x₁²+y₁²=2，2x₂²+y₂²=2，由此能求出點(diǎn)P的軌跡方程．
（2）由，得（a+m²）x²+2mx-1=0，所以，再由點(diǎn)O到AB的距離，能求出S（a）的值域．
解答：解：（1）直線(xiàn)y=mx+1過(guò)定點(diǎn)（0，1），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則OP的中點(diǎn)M為，
且有2x₁²+y₁²=2，2x₂²+y₂²=2，
以上兩式相減，得，
即k_AB•k_OP=-2，
∴，
∴2x²+y²-2y=0，
點(diǎn)P的軌跡方程為2x²+（y-1）²=1（除去原點(diǎn)）．
（2）由，
得（a+m²）x²+2mx-1=0，
∴，
又點(diǎn)O到AB的距離，
∴=．
∵a+2m²=1，
∴0＜a＜1，
∴S（a）的值域?yàn)椋?，4）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線(xiàn)與橢圓的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．