Question

直線y=mx+1與橢圓ax²+y²=2交于A，B兩點(diǎn)，以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形OAPB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）若a=2，求點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）若a，m滿足a+2m²=1，求平行四邊形OAPB的面積函數(shù)S（a）的值域．

Answer 1

分析：（1）直線y=mx+1過定點(diǎn)（0，1），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則OP的中點(diǎn)M為(

x

2

，

y

2

)，且有2x₁²+y₁²=2，2x₂²+y₂²=2，由此能求出點(diǎn)P的軌跡方程．
（2）由

y=mx+1 ax2+y2=2

，得（a+m²）x²+2mx-1=0，所以|AB|=

1+m2

•

4(a+2m2)

a+m2

，再由點(diǎn)O到AB的距離d=

1

1+m2

，能求出S（a）的值域．

解答：解：（1）直線y=mx+1過定點(diǎn)（0，1），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則OP的中點(diǎn)M為(

x

2

，

y

2

)，
且有2x₁²+y₁²=2，2x₂²+y₂²=2，
以上兩式相減，得

y1-y2

x1-x2

•

y1+y2

x1+x2

= -2，
即k_AB•k_OP=-2，
∴

y 2 -1

x 2

•

y

x

=-2，
∴2x²+y²-2y=0，
點(diǎn)P的軌跡方程為2x²+（y-1）²=1（除去原點(diǎn)）．
（2）由

y=mx+1 ax2+y2=2

，
得（a+m²）x²+2mx-1=0，
∴|AB|=

1+m2

•

4(a+2m2)

a+m2

，
又點(diǎn)O到AB的距離d=

1

1+m2

，
∴S(a)=|AB|•d=

4(a+2m2)

a+m2

=

4

a+1

．
∵a+2m²=1，
∴0＜a＜1，
∴S（a）的值域?yàn)椋?，4）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．