Question

在四棱錐P－ABCD中ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2．以AC為中點O為球心，AC為直徑的球面交PD于點M，交PC于點N．

(1)求證：平面ABM⊥平面PCD；

(2)求直線CD與平面ACM所夾的角的大小；

(3)求點N到平面ACM的距離．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：方法一：

　　(1)依題意知，AC是所作球面的直徑，

　　則AM⊥MC．

　　又因為PA⊥平面ABCD，

　　則PA⊥CD

　　又CD⊥AF

　　所以CD⊥平面PAD，

　　則CD⊥AM．

　　所以AM⊥平面PCD

　　所以平面ABM⊥平面PCD

　　(2)由(1)知，AM⊥PD，又PA＝AD，則M是PD的中點，可得

　　AM＝2且M到平面ABCD的距離為2．

　　MC＝＝2

　　則S_△ACM＝AM·MC＝2，S_△ACB＝4．

　　設(shè)D到平面ACM的距離為h，由V_D－ACM＝V_N－ACD，即2h＝8

　　可求得h＝．

　　設(shè)所求角為，則sin＝＝，＝arcsin

　　(3)可求得PC＝6，因為AN⊥NC，由，得PN＝．所以NC∶PC＝5∶9．

　　故N點到平面ACM的距離等于P點到平面ACM距離的．

　　又因為M是PD的中點，則P、D到平面ACM的距離相等，

　　由(2)可知所求距離為＝．

　　方法二：

　　(1)同方法一；

　　(2)如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0，0)，P(0，0，4)，B(2，0，0)，C(2，4，0)，D(0，4，0)，M(0，2，2)；

　　設(shè)平面ACM的一個法向量

　　則＝(2，－1，1)．

　　設(shè)所求角為α，

　　則sinα＝＝

　　所求角的大小為arcsin．

　　(3)由條件可得，AN⊥NC，在Rt△PAC中，

　　PA²＝PN·PC，所以PN＝，

　　則NC＝PC－PN＝，

　　所求距離等于點P到平面ACM距離的．

　　設(shè)點P到平面ACM距離為h，

　　則h＝＝，所以所求距離為h＝．