Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，BC⊥平面PAB．已知PA=AB，D，E分別為PB，BC的中點．
（1）求證：AD⊥平面PBC；
（2）若點F在線段AC上，且滿足AD∥平面PEF，求

AF

FC

的值．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：計算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）等腰△PAB中，證出中線AD⊥PB．由BC⊥平面PAB，得BC⊥AD，再利用線面垂直判定定理，即可證出AD⊥平面PBC；
（2）連結(jié)DC，交PE于點G，連結(jié)FG、DE．利用線面平行的性質(zhì)定理，證出AD∥FG．而DE為△BPC的中位線，證出△DEG∽△CPG，利用相似三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，即可算出

AF

FC

的值．

解答： 解：（1）∵BC⊥平面PAB，AD?平面PAB，∴BC⊥AD．
∵PA=AB，D是PB的中點，∴AD⊥PB
∵PB、BC是平面PBC內(nèi)的相交直線，∴AD平面PBC；
（2）連結(jié)DC，交PE于點G，連結(jié)FG、DE
∵AD∥平面PEF，AD?平面ADC，平面ADC∩平面PEF=FG，
∴AD∥FG．
∵D、E分別是PB、BC的中點，∴DE為△BPC的中位線，
因此，△DEG∽△CPG，可得

DG

GC

=

DE

PC

=

1

2

，
∴

AF

FC

=

DG

GC

=

1

2

，即

AF

FC

的值為

1

2

．

點評：本題在特殊的三棱錐中證明線面垂直，并求線段的比值．著重考查了線面垂直的定義與判定、線面平行性質(zhì)定理和相似三角形的計算等知識，屬于中檔題．