Question

已知f（x）=（x-1）²，g（x）=10（x-1），數(shù)列{a_n}滿足（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0，a₁=2，
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{b_n}中最大項(xiàng)．

Answer 1

【答案】分析：（I）將a_n代入函數(shù)f（x）與g（x）的解析式化簡得（a_n-1）[10×（a_n+1-a_n）+a_n-1]=0，兩邊除以a_n-1，得10（a_n+1-1）=9（a_n-1），而a₁-1=1，{a_n-1}就是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，從而可求得a_n-1，進(jìn)而得到a_n．
（Ⅱ）求出b_n的通項(xiàng)公式，然后研究{b_n}的單調(diào)性，從而求出n取何值時，b_n取最大值，以及最大值；
解答：解：（I）由方程（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0，
得：（a_n+1-a_n）×10×（a_n-1）+（a_n-1）²=0，
整理得（a_n-1）[10×（a_n+1-a_n）+a_n-1]=0；
顯然由a₁=2，知{a_n}顯然不是常數(shù)列，且不等于1，所以兩邊除以a_n-1；
得10×（a_n+1-a_n）+a_n-1=0，整理后得：10（a_n+1-1）=9（a_n-1），
a₁-1=1，則{a_n-1}就是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列．
所以a_n-1=，；
（Ⅱ）將a_n-1=（）^n-1代入bn=（n+2）（an-1），得b_n=（）ⁿ×（n+2）．
b_n+1-b_n=（）ⁿ⁺¹×（n+3）-（）ⁿ×（n+2）=（）ⁿ×．
∴{b_n}在[1，7]上單調(diào)遞增，在[8，+∞）上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)n取7或8時b_n取最大值，最大值為9×（）⁷．
點(diǎn)評：本題主要考查了等比數(shù)列的判定，以及數(shù)列的最值和數(shù)列的單調(diào)性的判定，是一道綜合題，有一定的難度．