Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=3，若數(shù)列{S_n+1}是公比為4的等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；（2）設(shè)b_n=n•4ⁿ+（-1）ⁿ•λa_n，n∈N^*，若數(shù)列{b_n}是遞增數(shù)列，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)a₁=3，數(shù)列{S_n+1}是公比為4的等比數(shù)列，可求出S_n的表達(dá)式，然后根據(jù)當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1進(jìn)行求解即可求出數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）由（1）得b_n的通項公式，然后根據(jù)數(shù)列{b_n}是遞增數(shù)列得b_n+1＞b_n恒成立，將λ分離出來，討論n的奇偶，根據(jù)恒成立問題的常用方法可求出λ的取值范圍．

解答：解：（1）S_n+1=（S₁+1）•4^n-1=4ⁿ，∴S_n=4ⁿ-1，
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=3•4^n-1，且 a₁=3，∴a_n=3•4^n-1，
所以數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=3•4^n-1．…（7分）
（2）b_n=n•4ⁿ+（-1）ⁿ•λa_n=n•4ⁿ+（-1）ⁿ•λ（3•4^n-1），
數(shù)列{b_n}是遞增數(shù)列，得b_n+1＞b_n⇒(-1)nλ＜

12n+16

15

，n∈N^*
當(dāng)n為偶數(shù)時，λ＜(

12n+16

15

)min=

8

3

，…（10分）
當(dāng)n為奇數(shù)時，-λ＜(

12n+16

15

)min=

28

15

，
∴λ＞-

28

15

…（13分）
所以-

28

15

＜λ＜

8

3

．…（14分）

點評：本題主要考查了等比數(shù)列的通項，以及數(shù)列的函數(shù)特性和恒成立問題，同時考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．