【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)討論的單調(diào)性;
(Ⅱ)若恒成立,證明:當時,.
【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析
【解析】
試題分析:熟練掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、等價轉化、分類討論的思想方法等是解題的關鍵.(I)利用導數(shù)的運算法則可得,對分類討論即可得出其單調(diào)性;(II)通過對分類討論,得到當,滿足條件且(當且僅當x=1時取“=”).利用此結論即可證明.
試題解析: 解:(Ⅰ)求導得
若a≤0,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上遞增;
若a>0,當x∈(0,)時,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;
當x∈(,+∞)時,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
若a≤0,f(x)在(0,+∞)上遞增,又f(1)=0,故f(x)≤0不恒成立
若a>2,當x∈(,1)時,f(x)遞減,f(x)>f(1)=0,不合題意
若0<a<2,當x∈(1,)時,f(x)遞增,f(x)>f(1)=0,不合題意
若a=2,f(x)在(0,1)上遞增,在(1,+∞)上遞減,
f(x)≤f(1)=0,合題意
故a=2,且lnx≤x﹣1(當且僅當x=1時取“=”).
當0<x1<x2時,f(x2)﹣f(x1)=2ln﹣2(x2﹣x1)
<2(﹣1)﹣2(x2﹣x1)=2(﹣1)(x2﹣x1),
∴.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在四棱錐中,四邊形為矩形,△為等腰三角形,,平面平面,且,,,分別為,的中點.
(1)證明:平面;
(2)證明:平面平面;
(3)求四棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,游客從某旅游景區(qū)的景點處下上至處有兩種路徑.一種是從沿直線步行到,另一種是先從沿索道乘纜車到,然后從沿直線步行到.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從處下山,甲沿勻速步行,速度為.在甲出發(fā)后,乙從乘纜車到,在處停留后,再從勻速步行到,假設纜車勻速直線運動的速度為,山路長為1260,經(jīng)測量,.
(1)求索道的長;
(2)問:乙出發(fā)多少后,乙在纜車上與甲的距離最短?
(3)為使兩位游客在處互相等待的時間不超過,乙步行的速度應控制在什么范圍內(nèi)?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】我國是世界上嚴重缺水的國家之一,城市缺水問題較為突出,某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水,計劃調(diào)整居民生活用水收費方案,擬確定一個合理的月用水量標準(噸),一位居民的月用水量不超過的部分按平價收費,超出的部分按議價收費,為了了解居民用水情況,通過抽祥,獲得了某年位居民毎人的月均用水量(單位:噸),將數(shù)據(jù)按照分成組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求直方圖中的值;
(2)若該市有萬居民,估計全市居民中月均用水量不低于噸的人數(shù),并說明理由;
(3)若該市政府希望使的居民每月的用水量不超過標準(噸),估計的值(精確到),并說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】電視傳媒公司為了了解某地區(qū)電視觀眾對某類體育節(jié)目的收視情況,隨機抽取了100名觀眾進行調(diào)查,其中女性有55名.下面是根據(jù)調(diào)查結果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖,將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”,已知“體育迷”中有10名女性.
(Ⅰ)根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表,并據(jù)此資料判斷你是否有95%以上的把握認為“體育迷”與性別有關?
非體育迷 | 體育迷 | 合計 | |
男 | |||
女 | |||
合計 |
(參考公式,其中.)
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
(Ⅱ)將日均收看該體育項目不低于50分鐘的觀眾稱為“超級體育迷”,已知“超級體育迷”中有2名女性,若從“超級體育迷”中任意選取2人,求至少有1名女性觀眾的概率。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的焦點為,拋物線上橫坐標為的點到拋物線頂點的距離與該點到拋物線準線的距離相等。
(1)求拋物線的方程;
(2)設直線與拋物線交于兩點,若,求實數(shù)的值。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,ABCD是塊矩形硬紙板,其中AB=2AD,AD=,E為DC的中點,將它沿AE折成直二面角D-AE-B.
(1)求證:AD⊥平面BDE;
(2)求二面角B-AD-E的余弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某校對高一年級學生寒假參加社區(qū)服務的次數(shù)進行了統(tǒng)計,隨機抽取了名學生作為樣本,得到這名學生參加社區(qū)服務的次數(shù),根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻率分布統(tǒng)計表和頻率分布直方圖如下:
(1)求表中的值和頻率分布直方圖中的值,并根據(jù)頻率分布直方圖估計該校高一學生寒假參加社區(qū)服務次數(shù)的中位數(shù);
(2)如果用分層抽樣的方法從樣本服務次數(shù)在和的人中共抽取6人,再從這6人中選2人,求2人服務次數(shù)都在的概率.
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