設:的準線與軸交于點,焦點為;橢圓以為焦點,離心率.設是的一個交點.

(1)當時,求橢圓的方程.
(2)在(1)的條件下,直線過的右焦點,與交于兩點,且等于的周長,求的方程.
(3)求所有正實數(shù),使得的邊長是連續(xù)正整數(shù).

(1)的方程為.(2)的方程為或.（3）

解析試題分析：(1)已知焦點，即可得橢圓的故半焦距為,又已知離心率為，故可求得半長軸長為2,從而知橢圓的方程為.(2)由(1)可知的周長，即等于6. 設的方程為代入，然后利用弦長公式得一含的方程，解這個方程即得的值，從而求得直線的方程.(3)由得.根據(jù)題設，將的三邊用表示出來，再根據(jù)的邊長是連續(xù)正整數(shù)，即可求得的值.
試題解析：(1)由條件,是橢圓的兩焦點,故半焦距為,再由離心率為知半長軸長為2,從而的方程為,其右準線方程為.
(2)由(1)可知的周長.又:而.
若垂直于軸,易得,矛盾,故不垂直于軸,可設其方程為,與方程聯(lián)立可得,從而
,
令可解出,故的方程為或.
(3)由得.設，由于點P在橢圓上，所以；由點P在拋物線上知，，所以，，所以，.又.由此可得，若的邊長是連續(xù)正整數(shù),則，解之得，其對應的三邊為5，6，7.
考點：1、橢圓與拋物線的方程；2、直線與圓錐曲線的關系.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓：（）過點，且橢圓的離心率為．
（1）求橢圓的方程；
（2）若動點在直線上，過作直線交橢圓于兩點，且為線段中點，再過作直線．求直線是否恒過定點，如果是則求出該定點的坐標，不是請說明理由。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的長軸長為，離心率為，分別為其左右焦點．一動圓過點，且與直線相切．
（1）(ⅰ)求橢圓的方程；（ⅱ)求動圓圓心軌跡的方程；
（2）在曲線上有四個不同的點，滿足與共線，與共線，且，求四邊形面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，已知橢圓的左、右焦點分別為，其上頂點為已知是邊長為的正三角形．

（1）求橢圓的方程；
（2）過點任作一動直線交橢圓于兩點，記．若在線段上取一點，使得，當直線運動時，點在某一定直線上運動，求出該定直線的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓C：（a>b>0），過點(0，1)，且離心率為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)A，B為橢圓C的左右頂點，直線l：x=2與x軸交于點D，點P是橢圓C上異于A，B的動點，直線AP，BP分別交直線l于E，F(xiàn)兩點．證明：當點P在橢圓C上運動時，恒為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，已知平面內(nèi)一動點到兩個定點、的距離之和為，線段的長為.

（1）求動點的軌跡；
（2）當時，過點作直線與軌跡交于、兩點，且點在線段的上方，線段的垂直平分線為
①求的面積的最大值；
②軌跡上是否存在除、外的兩點、關于直線對稱，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知拋物線，直線，是拋物線的焦點。

（1）在拋物線上求一點，使點到直線的距離最�。�
(2)如圖，過點作直線交拋物線于A、B兩點.
①若直線AB的傾斜角為，求弦AB的長度；
②若直線AO、BO分別交直線于兩點,求的最小值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設橢圓的左、右焦點分別、，點是橢圓短軸的一個端點，且焦距為6，的周長為16．
（I）求橢圓的方程；
（2）求過點且斜率為的直線被橢圓所截的線段的中點坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，動點與兩定點、構成，且，設動點的軌跡為．

（1）求軌跡的方程；
（2）設直線與軸相交于點，與軌跡相交于點，且，求的取值范圍．

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